Matematické Fórum

Andrejka3 · 21. 03. 2013 09:57

Dobrý den,
minule jsem se ptala v tomto tématu na některé vlastnosti ohledně existence nsd a nsn (nejv./nejm. spol. děl./násobek).
Oborem integrity rozumím $\mathbf{J}=(J,+,-,0,\cdot,1)$ , komutativní unitární okruh, kde $(J\setminus\{0\},\cdot,1)$ je monoid.
Označme ESD podmínku: $\forall a,b \in J \exists \mathrm{nsd}(a,b)$ , jež je ekvivalentní podmínce $\forall a,b \in J \exists \mathrm{nsn}(a,b)$ (v tématu v odkazu to dokázáno není, ale je tam nějaká diskuze).

Myslím, že následující tvrzení obecně neplatí:
$J'$ podobor integrity $J$ a $J$ splňuje ESD, pak $J'$ splňuje ESD.
Nenašla jsem protipříklad. Poradíte?
Jiná prosba:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 21. 03. 2013 11:03

oborintegrity hlavních ideálů.
to je ako definovane?
je to principalny obor ( anneau principal)
ako tu http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_principal

Zaujimave je citat toto
http://en.wikipedia.org/wiki/GCD_domain
a aj fr verziu
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_%C3%A0_PGCD

Andrejka3 · 21. 03. 2013 11:46

↑ vanok:
Jo, přesně to.

OiBobik · 25. 03. 2013 16:16

↑ Andrejka3:

ahoj, priklad pro druhou otazku je okruh T[x,y], kde T je nejake teleso. Je zname, ze v takovem oboru existuji nsd, ale pritom napriklad ideal (x)+(y) neni hlavni.

Andrejka3 · 25. 03. 2013 16:23

↑ OiBobik:
Díky!

OiBobik · 26. 03. 2013 11:26

↑ Andrejka3:

K te prvni otazce:
Lze napriklad vzit obor $\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ - ten nema vsechny nsd, ale lze jej chapat jako podokruh $\mathbb{Q}[x]$ , ktery je Gaussuv.

Andrejka3

↑ OiBobik:
Ahoj, jsem moc ráda, že se zabýváš mou otázkou a děkuji za odpověď. Ještě dnes si to projdu a rozmyslím.

Snad nevadí, pokud se budu ptát na obdobné dotazy ještě:

Máme obor integrity jistých vlastností. Otázka je, zda každý jeho podobor integrity má tyto vlastnosti.

Jisté vlastnosti: NSD, OIHI - vyřešeno. Dost mě zajímá vlastnost Konečnost řetězců vlastních dělitelů -- tady doufám, že to tentokrát platit bude. Co myslíš?

Edit: Podle mě se vyplatí konstrukce: obor integrity faktorizovat pomocí kongruence asociovanosti na $(J,\cdot)$ . A zavést částečné uspořádání na toto faktorovém monoidu jednoduše pomocí reprezentantů:
$[a]_{\parallel} \leq [b]_{\parallel} \iff a \mid b$ .
Pak třeba vlastnost ESD odpovídá tomu, že množina $(J/\parallel , \leq)$ je svazově uspořádaná, konečnost řetězců vlastních dělitelů tomu, že ta uspořádaná množina nemá nekonečné lineárně uspořádané podmnožiny (řetězce), ireducibilní prvek/ třída je ta, která je v ``druhem patre'' pomyslného Hasse diagramu toho uspořádání...
Když vezmu podobor integrity - nevím přesně, co se stane s tím faktorovým monoidem - jestli to odpovídá formálně vybrání uspořádané podmnožiny - přičemž to uspořádání bude jen restrikce toho původního, nebo ne.
To si zkusím rozmyslet.

OiBobik · 26. 03. 2013 12:10

↑ Andrejka3:

Zdravim,
konecnost retezcu se urcite dedit na podokruh bude - kazdy retezec deltelu v podokruhu je koneckoncu retezec delitelu v puvodnim okruhu.

Btw: ta ekvivalence a usporadani, jak ji zavadis, m taky vzdycky prisla uzitecna - on si to tak clovek vetsinou predstavuje (jelikoz nasobeni invertibilnim prvkem vetsinou zadne vlastnosti, tykajici se delitelnsti, nemeni).

Andrejka3 · 26. 03. 2013 12:26

↑ OiBobik:
Díky. Hotovo :)

OiBobik · 26. 03. 2013 18:26

↑ Andrejka3:

Jeste poznamka k tomu Z[sqrt 5] : samorejme to neni podokruh Q[x], ale R[x]. Ale nic to na te veci nemeni.

Andrejka3 · 27. 03. 2013 12:19

↑ OiBobik:
To sice ano, ale už nemůžeme vědět, zda jsou ty dělitelé vlastní nebo ne v tom původním OI.

Když vezmu podobor integrity - nevím přesně, co se stane s tím faktorovým monoidem - jestli to odpovídá formálně vybrání uspořádané podmnožiny - přičemž to uspořádání bude jen restrikce toho původního, nebo ne.

No tak ty třídy se obecně rozpadnou, jako třeba jsi už ukázal ( $\mathbb{Z} \leq \mathbb{R}$ ). Vlastní dělitel nějakého prvku podoboru integrity nemusí být vlastním dělitelem v tom původním oboru integrity - to je třída [a] vlastním dělitelem třídy [b], prave kdyz [1]<[a]<[b].
Zkrátka, obory integrity snad neumí pořádně nic zdědit...tak asi nemá ani cenu to zkoumat.

OiBobik · 27. 03. 2013 18:38

↑ Andrejka3:
Ahoj,
to mas pravdu, to jsem prehledl. A ze to tak neni dokazuje fakt, ze kazdy obor integrity lze vnorit do jeho podiloveho telesa - tedy staci najit nejaky oi, ktery nesplnuje dcc, a to bude slouzit jako protipriklad.

Andrejka3 · 27. 03. 2013 19:19

↑ OiBobik:
Dobrá poznámka.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2013 09:57

podobor integrity oboru integrity "ESD"

#2 21. 03. 2013 11:03

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#3 21. 03. 2013 11:46

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#4 25. 03. 2013 16:16

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#5 25. 03. 2013 16:23

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#6 26. 03. 2013 11:26

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#7 26. 03. 2013 11:31 — Editoval Andrejka3 (26. 03. 2013 11:41)

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#8 26. 03. 2013 12:10

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#9 26. 03. 2013 12:26

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#10 26. 03. 2013 18:26

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#11 27. 03. 2013 12:19

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#12 27. 03. 2013 18:38

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

#13 27. 03. 2013 19:19

Re: podobor integrity oboru integrity "ESD"

Zápatí