Matematické Fórum

bonifax · 07. 05. 2013 20:08

Zdravím, mohu poprosit o pomoc, lámu si s tím hlavu. Nemohu přijít na to, jak si vyjádřit $x$ nebo $p$ . Pak se už jen upravuje,derivuje a položí 0, to už zvládnu:-) Děkuji předem za pomoc, klidný a krásný večer!)

Zadání: (PETAKOVA 161/69)
Do rotačního kužele o poloměru podstavy r = 6 cm a výšce v = 3 cm vepište rotační válec maximálního objemu tak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce.

$p$ ...............poloměr válce
$x$ ...............výšká valce
$r=6cm$ ..........poloměr kužele
$v=3cm$ ...........výška válce

Objem válce: $V=\frac{1}{3}\pi *p^2*x$

jelena · 08. 05. 2013 08:14

Zdravím,

úlohu řešíš jen v rovině - v řezu, jak máš na obrázku - vyjádření provedeš buď pomocí dopočtu úhlu CAP (nebo polovičního úhlu u vrcholu), nebo využitím podobnosti trojúhelníků (malého nad válcem a ABC nebo "polovičních" pravoúhlých), těchto úloh je zde více, zkoušel jsi pohledat?

Jinak objem válce asi nemá ve vzorci 1/3 - je tak? Děkuji.

bonifax · 08. 05. 2013 11:11

↑ jelena:

Ahoj, děkuji ti moc:-) řešil jsem to podle tohoto a už mi to vyšlo!:)

Ano promiň, správný vzorec pro objem válce je: $V=\pi r^2*v$

$V'=6\pi r-\frac{3}{2}\pi r^2 => r=4 => v=1$

Ještě se chci se zeptat jak by řešila tato úloha přes ty úhly prosím?:) S touto metodou jsem se ještě nesetkal.

úhel při A: $tan\alpha =\frac{3}{6} => \alpha =26'33'$

jelena · 08. 05. 2013 14:19

↑ bonifax:

není za co, dobře, že se podařilo. S použitím tg (ano, tak jsem si to myslela), je vlastně totéž, jen se hodí použit, pokud se nepodaří rovnou vybavit podobnost trojúhelníků. Číselně bych tg nepočítala, jen samotné vyjádření, že tg(alfa)=v/r.

V jiných úlohách na využití dif. počtu se hodí uvažovat, zda je vhodnější vyjádření proměnných např. přes Pythagor. větu, nebo přes goniometrické funkce (např. tady).

Parez · 08. 05. 2013 18:37

Zdravím bonifax,
můžu se zeptat jak jsi došel k té derivaci. Pokoušel jsem se to vypočítat podle postupu, z odkazu, který jsi se dal, ale neúspěšně.
Předem díky.

bonifax · 08. 05. 2013 19:23

↑ jelena:

si skvělá, děkuji

↑ Parez:

No jasně, určitě ti pomůžu. Vyjádření v je totožné jako v odkaze. Jen dosazujeme do jiného vzorce.

$R=6cm$
$h=3cm$
$V=\pi r^2*\frac{h(R-r)}{R}$
$V=\pi r^2*\frac{3(6-r)}{6}$
$V=\pi r^2*\frac{18-3r}{6}$
$V=\frac{18\pi*r^2-3\pi r^3}{6}$
$V=\frac{18}{6}\pi r^2-\frac{3}{6}\pi r^3$ - Rozdělíme na dva zlomky.
$V'=6\pi r-\frac{3}{2}\pi r^2$ - Zderivujeme.
$\frac{3}{2}\pi (4r-r^2)=0$ - Položíme derivaci rovno 0
$4r-r^2=0$
$r=0,;r=4$ Dopočítáme výšku a zjistíme maximum to bude výsledek.

Obrázek stejný jako v předchozím tématu:

PS: Odpověz mi prosím na soukromou zprávu, děkuji.