Matematické Fórum

bonifax

$\int_{}^{}sin^2x-cos^2x$

ahoj, jak nejjednodušší metodou vyřeším tento integrál? + Kde je chyba v mém řešení? děkuji předem :-)

Můj postup:
použiji gon. fce pro vyjádření integrálu celý integrál pak bude:
$\int_{}^{}sin^2x-cos^2x=\int_{}^{}sin^2x-(1-sin^2x)dx$
$\int_{}^{}sin^2x-cos^2x=\int_{}^{}2sin^2x-1$

pomoci fci vyjádřím pouze sin^2x
$cos2x=cos^2x-sin^2x$
$cos2x=1-sin^2x-sin^2x$
$cos2x=1-2sin^2x$
$sin^2x=\frac{1}{2}(-cos2x+1)$
$\int_{}^{}\frac{1}{2}(-cos2x+1)dx$
$2x=t$
$dx=\frac{dt}{2}$
$\int_{}^{}\frac{1}{2}(-cost+1)\frac{dt}{2}$
$\int_{}^{}\frac{1}{4}(-cos2x+1)dx$

$-\frac{1}{4}sin2x+\frac{1}{4}x$

vynásobím dvěma a odečtu x

výsledek pak bude: $-\frac{1}{2}sin2x-\frac{3}{4}x$ což nevychází pročpak?(

bismarck

Myšlienka dobrá aj keď zložito vyriešené, realizácia zla, zle si dosadzoval
plati
$sin^2(x)-cos^2(x)=-cos(2x)$

K tvojmu postupu:
$\int_{}^{}sin^2x-cos^2xdx=\int_{}^{}(2sin^2x-1)dx$

$sin^2x=\frac{1}{2}(-cos2x+1)$ - správne
$\int_{}^{}\frac{1}{2}(-cos2x+1)dx$ - k ničomu si sa nedostal, keď si integroval sin^(2)(x), mal si to dosadiť nasledovne:

$\int_{}^{}sin^2x-cos^2x dx=\int_{}^{}(2sin^2x-1)dx=\\ \int_{}^{}(2(\frac{1}{2}(-cos2x+1))-1)dx=\int_{}^{}(-cos(2x))dx$

....
$\int_{}^{}\frac{1}{2}(-cost+1)\frac{dt}{2}$
$\int_{}^{}\frac{1}{4}(-cos2x+1)dx$ - chyba, nerozumiem tomuto kroku, si si zamenil t→2x a dt→dx
....

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nezabudni pri integralov písať dx,dt... :)

Blackflower

↑ bonifax: Ahoj.
Nebude to takto jednoduchšie? $\sin^2x-\cos^2x=-(\cos^2x-\sin^2x)=-\cos 2x$

EDIT: neskoro

bonifax · 12. 06. 2013 16:41

↑ bismarck:

opět skvělé :) děkuji moc, přepsal jsem si to to na papír a už vím, co jsem udělal špatně, celý ten konec jsem pokazil. Hned je mi to jasné ! :) fakt super díky

↑ Blackflower:

taky děkuji

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2013 16:04 — Editoval bonifax (12. 06. 2013 16:11)

integrál

#2 12. 06. 2013 16:11 — Editoval bismarck (12. 06. 2013 16:32)

Re: integrál

#3 12. 06. 2013 16:11 — Editoval Blackflower (12. 06. 2013 16:12)

Re: integrál

#4 12. 06. 2013 16:41

Re: integrál

Zápatí