Matematické Fórum

Sherlock

$\lim_{x\to2}\frac{\cos \frac{\pi }{x}}{x-2}=\frac{\pi }{4}$

Jak to dokázat? Není dovoleno L'Hospitalovo pravidlo.

Freedy · 08. 11. 2013 22:49 — Editoval Freedy (08. 11. 2013 22:50)

$\lim_{x\to2}\frac{\cos \frac{\pi }{x}}{x-2}$
použij cosx = sin(pi/2-x)
$\lim_{x\to2}\frac{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{\sin \pi (\frac{x-2}{2x})}{x-2}$
nyní zlomek rozšiř 1/2x
$\lim_{x\to2}\frac{\sin \pi (\frac{x-2}{2x})}{x-2}\cdot\frac{\frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{\sin \pi (\frac{x-2}{2x})}{2x}}{\frac{x-2}{2x}}=$
Když je x = 2 potom se to rovná vlastně:
$\frac{1}{4}\lim_{x\to2}\frac{\sin \pi (\frac{x-2}{2x})}{\frac{x-2}{2x}}$
Rozšiř tu limitu ještě výrazem pi/pi
$\frac{1}{4}\lim_{x\to2}\frac{\sin \pi \frac{x-2}{2x}}{\frac{x-2}{2x}}\cdot\frac{\pi }{\pi }=\frac{\pi }{4}\lim_{x\to2}\frac{\sin \pi \frac{x-2}{2x}}{\pi \frac{x-2}{2x}}$
Nyní zavedeš substituci:
$\pi \frac{x-2}{2x}=u$
a z x>>2 je vlastně u>> 0
proto:
$\frac{\pi }{4}\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=\frac{\pi }{4}$

Jj · 09. 11. 2013 10:09 — Editoval Jj (09. 11. 2013 10:09)

Nebo taky:

$\lim_{x\to2}\frac{\cos \frac{\pi }{x}}{x-2}=|\pi/x=z| = \lim_{z\to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos z}{\frac{\pi}{z}-2}= \lim_{z\to \frac{\pi}{2}}\frac{z\cos z}{\pi-2z}=$
$= \frac{1}{2}\lim_{z\to \frac{\pi}{2}}\frac{z\cos z}{\frac{\pi}{2}-z}= \frac{1}{2}\lim_{z\to \frac{\pi}{2}}z\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-z)}{\frac{\pi}{2}-z}=\frac{\pi}{4}$

Sherlock · 10. 11. 2013 16:23

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2013 21:28 — Editoval Aktivní (08. 11. 2013 21:29)

Limita - podíl cos(pi/x)/(x-2) bez L'Hospitala

#2 08. 11. 2013 22:49 — Editoval Freedy (08. 11. 2013 22:50)

Re: Limita - podíl cos(pi/x)/(x-2) bez L'Hospitala

#3 09. 11. 2013 10:09 — Editoval Jj (09. 11. 2013 10:09)

Re: Limita - podíl cos(pi/x)/(x-2) bez L'Hospitala

#4 10. 11. 2013 16:23

Re: Limita - podíl cos(pi/x)/(x-2) bez L'Hospitala

Zápatí