Matematické Fórum

Skumin · 10. 01. 2014 14:50

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem: Nalezněte všechny lokální extrémy funkce $f=\left(x^2+y^2\right)^{y-x}$ na množině M, kde M je $\mathbb{R}^{2}\setminus [0,0]$ . Vypočítal jsem gradient funkce f jako matici parciálních derivací takto: $\left( \begin{array}{c} \left(x^2+y^2\right)^{y-x} \left(\frac{2 x (y-x)}{x^2+y^2}-\log \left(x^2+y^2\right)\right) \\ \left(x^2+y^2\right)^{y-x} \left(\frac{2 y (y-x)}{x^2+y^2}+\log \left(x^2+y^2\right)\right) \\ \end{array} \right)$ . Gradient se musí rovnat v podezřelých bodech nulovému vektoru, tedy dojdu k soustavě rovnic $\frac{2 x (y-x)}{x^2+y^2}-\log \left(x^2+y^2\right)=0$ a $\frac{2 y (y-x)}{x^2+y^2}+\log \left(x^2+y^2\right)=0$ . Nyní ale nevím, jak tuto rovnici vyřešit. Wolfram mi vyhodí řešení v grafické podobě, ale již ne postup. Díky za rady.

Arabela · 10. 01. 2014 15:15

Ahoj ↑ Skumin:,
z oboch rovníc si vyjadri $\log_{}(x^{2}+y^{2})$ a daj do rovnosti.
Po jednoduchých úpravách dostaneš $x^{2}=y^{2}$ , čiže $|x|=|y|$ .
Využi $\forall x,y \in R: |x|=|y|\Leftrightarrow (x=y \vee x=-y)$ .
Každú z možností rieš zvlášť dosadením napríklad do prvej z dvoch rovníc.

Skumin · 10. 01. 2014 17:08

Díky moc, opravdu to funguje, nějak mě tenhle postup nenapadl, myslel jsem, že nebudu schopen pak dopočítat to druhou část soustavy.

Matematické Fórum

#1 10. 01. 2014 14:50

Soustava nelineárních rovnic

#2 10. 01. 2014 15:15

Re: Soustava nelineárních rovnic

#3 10. 01. 2014 17:08

Re: Soustava nelineárních rovnic

Zápatí