Matematické Fórum

mafian89 · 09. 06. 2009 12:31

Zdravím,
potřeboval bych pomoct s tímhle příkladem:

Mezi čísla 5 a 640 lze vložit n čísel tak, aby součet vložených čísel byl 630 a aby vložená čísla
tvořila s danými čísly po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti s kvocientem q rovným
a) 1,b) 2, c) 3, d) 4, e) 5

Vím, že nebude těžký, ale nemůžu dosp+t k výsledu. Zkoušel jsem toho dost, ale nemám nějak tušení, jak se to řeší. Děkuji za případnou pomoc

musixx · 09. 06. 2009 12:49 — Editoval musixx (09. 06. 2009 12:50)

Proste moznosti vyzkousej:

q=1:
vsechny cleny by byly 5, tedy nikdy by nebyl clen 640 - q=1 neni reseni

q=2:
slo by o posloupnost 5,10,20,40,80,160,320,640, tedy by to mohlo jit a vlozili jsme 10+20+40+80+160+320=630 - q=2 je reseni

q=3:
slo by o posloupnost 5,15,45,135,405,1215, tedy posloupnost neobsahuje 640 - q=3 neni reseni

q=4:
slo by o posloupnost 5,20,80,320,1280, tedy posloupnost neobsahuje 640 - q=4 neni reseni

q=5:
slo by o posloupnost 5,25,125,625,3125, tedy posloupnost neobsahuje 640 - q=5 neni reseni

Poznamka: s drobnou uvahou jsme mohli uz u te dvojky skoncit (s vyssim kvocientem se soucet vlozenych clenu bude tak jak tak zmensovat, i kdyby nakrasnu jsme se s nejakym clenem do 640 trefili), ale neni zase tolik prace vsechno si vypsat pro zacatek...

mafian89 · 09. 06. 2009 12:55

↑ musixx:

díky moc, tohle mě nenapadlo:-D Někdy bude asi lepší použít selský rozum :-D

gadgetka · 31. 01. 2014 15:04

Klasické řešení, pokud se nejedná o test s možností logického dosazení:
$a_1=5,\enspace a_{n+2}=640,\enspace s_{n+2}=630$

$s_{n+2}=a_1\cdot \frac{q^{n+2}-1}{q-1}$
$a_{n+2}=a_1\cdot q^{n+1}\Rightarrow 640=5\cdot q^n\cdot q\Rightarrow 128=q^n\cdot q$
--------------------------------------------------------------------------------
$630+645=5\cdot \frac{q^n\cdot q^2-1}{q-1}$
$255q-254=q^n\cdot q^2$
$q(255-q^n\cdot q)=254$
$127q=254\Rightarrow q=2$

$128=2^{n+1}\\ 2^7=2^{n+1}\\ n=6$

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2009 12:31

Geometrická posloupnost

#2 09. 06. 2009 12:49 — Editoval musixx (09. 06. 2009 12:50)

Re: Geometrická posloupnost

#3 09. 06. 2009 12:55

Re: Geometrická posloupnost

#4 31. 01. 2014 15:04

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí