Matematické Fórum

liamlim

Dobrý den všem!

Před ústředním kolem MO jsem se dnes trochu díval na nerovnosti, protože se mi oproti geometrii toto téma opravdu hodně líbí. Zkoušel jsem využívat Jensenovu nerovnost pomocí které jsem odvodil další nerovnosti. Tyto dvě nerovnosti zde napíšu. A protože si nejsem jistý, jestli jsem po cestě neudělal chybu, bude zadání následující:

Dokažte následující nerovnosti pro kladná $a$ , $b$ , $c$ , nebo nalezněte alespoň jednu trojici kdy nerovnost neplatí

1) $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2 \ge abc(a+b+c)^3$ -> ideálně bez roznásobování závorek

2) $a+b+c \ge \sqrt[a+b+c]{a^ab^bc^c} + \sqrt[a+b+c]{a^bb^cc^a} + \sqrt[a+b+c]{a^c b^a c^b}$
nebo ekvivalentní nerovnost
$a^{a+b+c}+b^{a+b+c}+c^{a+b+c} \ge a^ab^bc^c + a^bb^cc^a + a^c b^a c^b$

Jestli tyto nerovnosti platí, pak bych byl vděčný za nějaký "návod" jak se podobné nerovnosti dokazují. Já kdybych si je neodvodil tak asi moc nevím. Opravdu netuším, jak bych postupoval. V druhé nerovnosti bych možná položil $a+b+c = 1$ a první bych zkusil roznásobit... Což však podle mě k ničemu nevede.

edit: Druhá z nerovností poté co jsem napsal její změněnou podobu vypadá že by šla celkem dobře dokázat za pomoci permutační nerovnosti. To mě teď napadlo. U te první mě ale pořád nic nenapadá.

Moje odvození:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

nikoma · 02. 06. 2014 18:47 — Editoval nikoma (02. 06. 2014 18:49)

Zdravím, zde nabídnu dva důkazy první nerovnosti

"1. nerovnost skoro bez roznásobování" Zobrazit/skrýt!

"1. nerovnost s roznásobováním" Zobrazit/skrýt!

liamlim

↑ nikoma:

Pěkné. Jen ještě ukážu nerovnost, jejíž speciálním případem je tato nerovnost. Pro kladná $a,b,c,x,y,z$ platí nerovnost

$(ax+by+cz)(ay+bz+cx)(az+bx+cy) \ge abc(x+y+z)^3$

Volbou $x = a$ , $y = b$ , $z = c$ získáme tu nerovnost. Sem jsem ji napsal jestli si dobře vzpomínám krátce poté co jsem tento obecný tvar odvodil. Nenapadlo mě nic lepšího než dosadit za $x,y,z$ $a,b,c$ . Myslím si, že jiným dosazením by šlo získat pěknější nerovnosti. Mimochodem podobná nerovnost kterou jsem dokázal je (zase stačí roznásobit)

$(ax+by)(bx+cy)(cx+ay) \ge abc(x+y)^3$ -> ta lze využít u nerovnosti kterou jsem tu nedávno napsal.

pro připomenutí ji sem napíšu:

$\frac{1}{(1+2ab)^3}+\frac{1}{(1+2bc)^3}+\frac{1}{(1+2ca)^3}\ge \frac{1}{(2abc+1)^2}$

nikoma · 02. 06. 2014 19:11 — Editoval nikoma (02. 06. 2014 19:22)

↑ liamlim:
To je pěkná nerovnost, docela mě překvapilo, že se jedná o přímý důsledek Hölderovy nerovnosti, protože podle Hölderovy nerovnosti platí

Analogicky jde odvodit i ta druhá nerovnost ve čtyrech proměnných.
EDIT: Ať to tu zbytečně nespamuju novým příspěvkem, tak jen dodám, že i ta obecná nerovnost pro $2n$ proměnných plyne obdobně z Hölderovy nerovnosti.

liamlim

↑ nikoma:

Ono jde ukázat že platí

$A = (a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n)(a_1x_2+a_2x_3+\cdots + a_nx_1)\cdots(a_1x_n+a_2x_1+\cdots+a_nx_{n-1})$ $B = a_1a_2\cdots a_n (x_1+x_2+\cdots + x_n)^n$ tak $A \ge B$

Ale už pro $n = 4$ nevypadá nerovnost vůbec hezky

Edit.: důkaz jsem dělal pomocí Jensenovy nerovnosti

Edit2: A ten důkaz není ani nijak zajimavy. Jedna se o stejny dukaz jako dukaz AG nerovnosti. Akorat s jinymi koeficienty. Pokud dosadíte $x_i = x_j$ pak dostanete AG...

nikoma · 09. 06. 2014 16:03

liamlim napsal(a):
Dokažte následující nerovnosti pro kladná $a$ , $b$ , $c$ , nebo nalezněte alespoň jednu trojici kdy nerovnost neplatí

1) $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2 \ge abc(a+b+c)^3$ -> ideálně bez roznásobování závorek

Zdravím, podařilo se mi odvodit a dokázat silnější verzi této nerovnosti:

Dokažte, že pro kladná $a,b,c$ platí

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2014 21:05 — Editoval liamlim (21. 02. 2014 23:04)

nerovnosti

#2 02. 06. 2014 18:47 — Editoval nikoma (02. 06. 2014 18:49)

Re: nerovnosti

#3 02. 06. 2014 18:55 — Editoval liamlim (02. 06. 2014 18:59)

Re: nerovnosti

#4 02. 06. 2014 19:11 — Editoval nikoma (02. 06. 2014 19:22)

Re: nerovnosti

#5 02. 06. 2014 19:16 — Editoval liamlim (02. 06. 2014 19:26)

Re: nerovnosti

#6 09. 06. 2014 16:03

Re: nerovnosti

liamlim napsal(a):

Zápatí