Matematické Fórum

Anička06l · 25. 03. 2014 18:36

$p: x=-1+2x$
$y=-3-3t$
$z=3+3t$

$q: x=-3+2r$
$y=6$
$z=4+5r$

Určete vzájemnou polohu přímek, pokud jsou různoběžné určete průsečík.??
Prosím potřebuji o pomoc? Dostali jsme za úkol vypočítat 5 příkladů tohohle tipu. Prosím o postup, ostatní zvládnu podle toho. Předem děkuji.

Freedy · 25. 03. 2014 18:40

Ahoj,
x y z jsou libovolné body daných přímek. Takže pokud dáš do rovnosti x = -1 + 2x a x = -3 + 2r (úplně stejně u Y a Z)
Tak dostáváš soustavu tří rovnic a třech neznámých:
$-1+2t = -3+2r$
$-3-3t = 6$
$3+3t = 4+5r$

Pokud ti vyjde jedna uspořádáná dvojice (t;r) = hledaný průsečík
Pokud ti vyjde nekonečně mnoho řešení = přímky jsou totožné
Pokud ti vyjde "nemá žádné řešení" = přímky jsou rovnoběžné nebo mimoběžné. Rovnoběžnost a mimoběžnost ověříš jednoduše. Rovnoběžné jsou tehdy kdy směrový vektor první přímky, lze vyjádřit jako k-násobek směrového vektoru druhé přímky.

Anička06l · 25. 03. 2014 19:06

$-3-3t = 6$ z této rovnice jsem si vypočítala t :)
$t=3$

$3+3t = 4+5r$ poté z této r

$r= \frac{5}{8}$

Jsou různoběžný ne?? a jak mám určit ten průsečík? To nechápu :( ??

Freedy · 25. 03. 2014 19:12

Nemůžeš vypočítat jen t a r. Musíš ověřit, zda vyhovují všem třem rovnicím. Pokud ano, tak hledaný průsečík zjistíš tak, že v parametrickém vyjádření jedné, nebo druhé přímky dosadíš za t (resp. r) získanou hodnotu a zjistíš souřadnice.

Anička06l · 25. 03. 2014 19:38

Chápu, jak to píčata, když tam není to z:
a jsou tam jen ty dvě, ale takhle to vůbec nechápu :D :( Tak že si mám ted dosadit do r a t.... v přímce p: a vypočítám si x a y a z?? Nevím, jak to ověřit?? Jak si psal...

Anička06l · 25. 03. 2014 19:47

Je to takhle: $-1+2*3=5$
$-3-3*3=-12$
$3+3*3=+12$

A výsledek je: $X[5,-12,12]$

Je to správně?

Freedy · 25. 03. 2014 20:03

Už jen z druhé rovnice lze vidět že:
$t = -3$ a hned po dosazení do první
$r = -2$

Teď stačí ověřit zda platí:
$3+3t = 4+5r$
$3-9=4-10$
platí
_____________

Nyní stačí vzít například t = -3 (nebo r = -2) a dosadit do původního parametrického vyjádření přímky s parametrem t (respektive r).
$x = -1+2t$
$y = -3-3t$
$z=3+3t$ ---- dosadíme t = -3
$x = -7$
$y = 6$
$z = -6$
Bod $P[-7;6;-6]$

pro kontrolu si můžeš dosadit r = -2 (musí vyjít stejný bod)
$x=-3+2r$
$y=6$
$z=4+5r$ ---- dosadíme r = -2
x = -7
y = 6
z = -6

Vyšel stejný bod. Hledaný průsečík je:
$P[-7;6;-6]$

Anička06l · 25. 03. 2014 20:07

Oprava: Už jsem na to přišla:

$-3-3t = 6$
$3+3t = 4+5r$

Z těchto rovnic: jsem vypočítala r a t
$r= -2$
$t=-3$

Sedí to do té další rovnice...

Z přímky p: po dosazení za t mi vyšel ten průsečík.

X $[-7,6,-6]$

Když dosadím do přímky q to vypočítané r :) Tak to vychází stejně...

Děkuji ti za pomoc

Anička06l · 25. 03. 2014 20:08

Jo aha.. nevšimla jsem si tvojí odpovědi, díky za vysvětlení :)

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2014 18:36

Vzájemná poloha přímek

#2 25. 03. 2014 18:40

Re: Vzájemná poloha přímek

#3 25. 03. 2014 19:06

Re: Vzájemná poloha přímek

#4 25. 03. 2014 19:12

Re: Vzájemná poloha přímek

#5 25. 03. 2014 19:38

Re: Vzájemná poloha přímek

#6 25. 03. 2014 19:47

Re: Vzájemná poloha přímek

#7 25. 03. 2014 20:03

Re: Vzájemná poloha přímek

#8 25. 03. 2014 20:07

Re: Vzájemná poloha přímek

#9 25. 03. 2014 20:08

Re: Vzájemná poloha přímek

Zápatí