Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 04. 2014 21:03

xdobia09
Příspěvky: 112
Škola: VUT FEKT
Pozice: Student
Reputace:   
 

Rovnice kuželoseček

Mám tu spoustu příkladů typu:

$4x^{2}+4y^{2}+4x-8y+1=0$ je rovnicí = kružnice
Na výběr, je vždy kružnice, parabola, hyperbola a elipsa. Formát zadání je vždy stejný. Lze rovnice nějak vždy upravit a spolehlivě poznat o jakou se jedná?

Děkuji za pomoc!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) xdobia09)

#2 02. 04. 2014 21:15

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Rovnice kuželoseček

Samozřejmě, každá kuželosečka lze zapsat ve tvaru:
$ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$

Pokud máš nějaký určitý typ této rovnice, musíš se snažit jí upravit na středový tvar. Dále by ti také mohlo pomoct to, že:
pokud je jedna ze dvou neznámých v druhé mocnině a ta zbývající ne, jedná se pravděpodobně o parabolu
pokud jsou obě neznámé v druhé mocnině, ale u jedné z nich je opačné znaménko, jedná se pravděpodobně o hyperbolu
pokud jsou obě neznáme v druhé mocnině, obě mají stejné znaménko (+ +) (- -) tak rozlišujeme dva typy:
mají stejný koeficient = kružnice
mají rozdílný koeficient = elipsa

Tvoje kuželosečka by se dala upravit následovně:
$4x^2+4y^2+4x-8y+1=0$
$4(x^2+x)+4(y^2-2y)=-1$
doplníme na čtverec:

$4(x^2+x +\frac{1}{4})+4(y^2-2y+1)=-1+1+4$
$4(x+\frac{1}{2})^2+4(y-1)^2=4$
$(x+\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=1$

Jedná se tedy o kružnici se středem v bodě $[-\frac{1}{2};1]$ a poloměrem 1.


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#3 02. 04. 2014 21:23

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: Rovnice kuželoseček

↑ xdobia09:
koeficienty u kvadratických členů jsou stejné (i se znaménky) -> podezřelá je kružnice
koeficienty u kvadratických členů nejsou stejné ale mají stejná znaménka -> podezřelá je elipsa
koeficienty u kvadratických členů mají opačná znaménka -> podezřelá je hyperbola
je tam jen jeden kvadratický člen -> podezřelá je parabola

vše za předpokladu, že v rovnici není smíšený člen $xy$.


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#4 02. 04. 2014 21:25

Freedy
Místo: Praha
Příspěvky: 2726
Škola: MFF UK (15-18, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   166 
 

Re: Rovnice kuželoseček

zdenek1 napsal(a):

vše za předpokladu, že v rovnici není smíšený člen $xy$.

a když tam je?


L'Hospitalovo pravidlo neexistuje. Byl to výsledek Johanna Bernoulliho

Offline

 

#5 02. 04. 2014 22:10

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: Rovnice kuželoseček

↑ Freedy:
TAk máš problém. Musíš tu křivku otočit. Tak jednoduše, jak je uvedeno výše, to nepoznáš.


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#6 02. 04. 2014 22:39 — Editoval vanok (02. 04. 2014 22:49)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Rovnice kuželoseček

Ahoj ↑ zdenek1:
Mala poznamka:
Ako si spravne naznacil vyraz
$ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$
umoznuje urcit kuzelosecku v pripade ked c=0.
Tiez, ze vdaka vhodnemu otoceniu, mozme transformovat danu rovnicu kuzelosecky "na formu bez xy"

Ale naviac plati aj tento vysledok pre formu $ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$:
Ak $ab-c^2>0$ mame rovnicu elipsy ( pripadne kruznice) alebo bodu alebo $\emptyset $
ak $ ab-c^2<0$ mame rovnicu hyperboly alebo zjednotenia dvoch roznobeznych priamok
a ak $ ab-c^2=0$ ide rovnicu paraboly alebo jednej priamky alebo dvoch rovnobeznych priamok alebo $\emptyset $


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 02. 04. 2014 22:40

xdobia09
Příspěvky: 112
Škola: VUT FEKT
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Rovnice kuželoseček

Díky za vysvětlení

Offline

 

#8 02. 04. 2014 23:12

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4713
Reputace:   221 
 

Re: Rovnice kuželoseček

↑ vanok:

Zdravím, co za útvary může rovnice $Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$ generovat?
Klasicky - kružnice, elipsa, parabola, hyperbola.
Dál jsem zjistil, že to může být přímka, dvojice (různoběžných, nebo rovnoběžných) přímek, jeden bod nebo prázdná množina.

Ještě něco, nebo mám vše?


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#9 02. 04. 2014 23:30 — Editoval vanok (02. 04. 2014 23:32)

vanok
Příspěvky: 14504
Reputace:   742 
 

Re: Rovnice kuželoseček

↑ byk7:,
To su tzv degenerovane pripady.
Pozor v klasifikacii som pouzil co bolo napisane v predoslych prispevkoch:$ax^2+bx^2+2cxy +2dx +2ey+f=0$!..
Priklad na bod
$ x^2+y^2=0$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson