Matematické Fórum

check_drummer

Ahoj,
nechť p,q jsou polynomy (v jedné proměnné) s celočíselnými koeficienty, které (ty koeficienty) jsou jak u p, tak u q nesoudělné. Nechť p dělí q, tj. q=p.r pro nějaký polynom r. Otázky (od nejsilnější k nejslabší):
1) Má potom r také nutně celočíselné koeficienty? (Zřejmě má r racionální koeficienty a otázka tedy zní, jsou-li dokonce všechny celočíselné.)
2) Jsou alespoň "první" a "poslední" koeficient (absolutní koeficient a koeficient u nejvyššího členu) u r celočíselné?
3) Platí 1) nebo 2), pokud je navíc p lineární?

Xellos · 15. 06. 2014 19:33

Nech $q(x)=x^2+1$ , $p(x)=1$ . Polynomy splnaju predpoklady, ale $r(x)=x^2+1$ nema racionalne korene, dokonca nema ani ziadne realne. Tie otazky vobec nesuvisia s vlastnostami korenov.

Nech $p(x)=Ax+B$ , $r(x)=Cx+D$ . Potom $q(x)=ACx^2+(AD+BC)x+BD$ . Chceme, aby $A,B,AC,BD,AD+BC$ boli celociselne a otazka znie, ci potom $C,D$ su celociselne. Zjavne $C,D$ su racionalne, pisme $C=\frac{u}{v}$ a $D=\frac{x}{y}$ , kde $A=kv$ a $B=cy$ (kvoli celociselnosti $AC,BD$ ). Pritom $kv$ a $cy$ su nesudelitelne, $ku$ a $cx$ su tiez nesudelitelne, teda lubovolne 2 z cisel $k,c$ $v,c$ $k,y$ $k,x$ $v,y$ $u,c$ $u,x$ su nesudelitelne.

$AD+BC=\frac{kvx}{y}+\frac{cyu}{v}=\frac{kv^2x+cy^2u}{yv}$

Ak ma byt tento zlomok celociselny, pre nesudelitelne $y,v$ musia byt oba zlomky ktorych je suctom celociselne (zober menovatel mod y, potom y deli kx). Z nesudelitelnosti dostavame ze $y|x$ a $v|u$ , takze plati 1).

check_drummer · 16. 06. 2014 22:58

↑ Xellos:
Ahoj, místo "kořeny" má být "koeficienty", děkuji za upozornění. zdá se mi, že to nedokazuješ pro obecné polynomy, ale jen pro lineární...?

Jinak když jsem včera usínal, tak mi došlo, že bod 1 je

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 15. 06. 2014 18:07 — Editoval check_drummer (16. 06. 2014 22:57)

Celočíselnost podílu dvou polynomů

#2 15. 06. 2014 19:33

Re: Celočíselnost podílu dvou polynomů

#3 16. 06. 2014 22:58

Re: Celočíselnost podílu dvou polynomů

Zápatí