Matematické Fórum

Freedy · 29. 06. 2014 00:40 — Editoval Freedy (29. 06. 2014 00:44)

Dobrý večer,

jen jsem tak přemýšlel, cestou domů, jestli lze umocňovat čísla na komplexní čísla. Přes google sem nacházel pouze odkazy na umocňování komplexních čísel, nikoliv umocňování nějakých čísel na komplexní čísla. Proto se ptám tady.

Zkoušel jsem sem rozepsat můj postup, ale po zadání do wolframu 2^i sem zjistil, že už ho rovnou můžu odpískat.

Napadl mě jiný způsob přes moivreovu větu, jenže tam se násobí úhel a jelikož reálné číslo má úhel 0° tak by tam ten komplexní výraz v exponentu nehrál žádnou roli, pouze v umocňování absolutní hodnoty a to bychom se dostali opět na začátek - umocňování reálného čísla na komplexní výraz. Proto se ptám, jak na to. Děkuji.

Freedy

EDIT:
poslední věc co mě napadla právě je toto:
$\mathrm{e}^{\text{i}\alpha }=\cos \alpha +\text{i}\sin \alpha$ jenže zde se jedná o úhel a eulerovo číslo 2,71... a navíc absolutní hodnota výsledného čísla nemůže nabývat hodnot větších než 1.

Hanis · 29. 06. 2014 00:57 — Editoval Hanis (29. 06. 2014 00:59)

Ahoj,

obvykle se definuje takhle:

$x^{a+bi}=e^{(a+b i)\ln x}=e^{a\cdot \ln x}\cdot e^{bi\ln x}=x^a\cdot (\cos (b\ln x)+i\sin (b\ln x))$

A lze dokonce umocňovat komplexní číslo na komplexní číslo :-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy · 29. 06. 2014 02:22

A platí zde stejné pravidla pro logaritmy jako u reálných čísel?
Protože pokud ano, bylo by to opravdu divné O.o

$\ln \text{i} = \text{i}\frac{\pi }{2}$
$\ln \text{i}^2=\ln (-1) = 2\ln \text{i} = \text{i}\pi$
$\ln \text{i}^3=\ln (-\text{i}) = 3\ln \text{i} = \text{i}\frac{3\pi }{2}$
$\ln \text{i}^4=\ln (1) = 4\ln \text{i} = 2\pi \text{i}$

zde by se to mělo nějak ošetřit ne?

A jinak díky za odpověď, pomohlo mi to, je to docela logický přepis, nevím proč mě nenapadl.

byk7 · 29. 06. 2014 03:16

↑ Freedy:
$2\ln(\mathrm{i})=2\cdot\frac{\pi\mathrm{i}}{2}=\pi\mathrm{i}\neq-\pi\mathrm{i}=\ln(-1)=\ln$\mathrm{i}^2$$

o komplexním logaritmu (str. 10) a vůbec o komplexních číslech více (např.) zde

Brano · 29. 06. 2014 03:19

↑ Freedy:
tu je trochu problem s tym, ze logaritmus pre komplexne cisla je multifunkcia (viac znacna funkcia)
t.j. ak $z=|z|e^{i\varphi}$ tak plati aj $z=|z|e^{i(\varphi+2k\pi)}$
a teda je prirodzene povedat, ze $\text{Ln}z=\ln|z|+i\varphi+2k\pi i$
a ked sa budes snazit nejak fixovat to $k$ , tak to bude robit psie kusy - ako si aj naznacil

da sa teda definovat $z^w=\exp(w\text{Ln}z)$ - cize znova by to bola viac znacna funkcia; alebo nejak fixujes to $k$ a prides na to, ze neplatia niektore vzorce, ktore by si cakal, ze by platit mali

ako napriklad to co si napisal; t.j., ze $\ln i^4\not=4\ln i$

Matematické Fórum

#1 29. 06. 2014 00:40 — Editoval Freedy (29. 06. 2014 00:44)

Komplexní čísla - umocňování

#2 29. 06. 2014 00:57 — Editoval Hanis (29. 06. 2014 00:59)

Re: Komplexní čísla - umocňování

#3 29. 06. 2014 02:22

Re: Komplexní čísla - umocňování

#4 29. 06. 2014 03:16

Re: Komplexní čísla - umocňování

#5 29. 06. 2014 03:19

Re: Komplexní čísla - umocňování

Zápatí