Matematické Fórum

prost33 · 03. 02. 2015 15:35

Zdravím,
rád bych se zeptal kohokoliv na pomoc při řešení dvou ne až tak těžkých příkladů, předpokládám, že oba jsou na stejném principu , jenže nevím jak přesně na ně.
Takže ten první : 1) Určete obsah obrazce ohraničeného křivkou $y=\cos \wedge 3x$ , kde x leží v intervalu $0,\pi /2$ a osou x.

A ten druhý : 2) Vypočtěte obsah plochy omezené zdola grafem funkce $f(x)=(x\wedge 2+2x)e\wedge -x$ a shora osou x.

Budu moc rád, když mi někdo pomůže.
Předem děkuji !

Takjo · 03. 02. 2015 15:40

↑ prost33:
Dobrý den,
dokázal byste vypočítat neurčitý integrál $\int_{}^{}cos^{3}xdx$

prost33

Ano, takhle nějak jsem na to v testu šel, výsledek je $\sin x + \sin \wedge 3x/3$ .
Dál uvažuju tak, že je to křivka nad osou x , tedy budu odčítat od ní x , je to tak? Tady jsem si nebyl extra jistý , jestli je nad, nebo pod.

EDIT: Pokud by byl nad osou x , šel bych na to následovně : $[\sin x-\sin \wedge 3x/3 - x\wedge 2/2 ]$ od 0 do $\pi /2$ , po dosazení by to tedy vyšlo 2/3
Je to tak správně?
Děkuji za odpověď

Takjo · 03. 02. 2015 16:08

↑ prost33:
Dobrý den,
výsledek neurčitého integrálu $\int_{}^{}cos^{3}xdx$ je $sinx-\frac{sin^{3}x}{3}$

Graf funkce $y=cos^{3}x$ leží v uvažovaném intervalu $x\in \langle0;\frac{\pi }{2}\rangle$ nad osou x.

Osa x má rovnici $y=0$ .

Takže hledanou plochu vypočtete jako: $[sinx-\frac{sin^{3}x}{3}]^{\frac{\pi }{2}}_{0}$

prost33 · 03. 02. 2015 16:25

Aha, takže jsem udělal chybu v té rovnici osy x.
Moc děkuji.

A co se týká toho druhého příkladu, tam nevíte, jak na to?

Takjo · 03. 02. 2015 16:33

↑ prost33:
Dobrý den,
ad 2) Nejprve zjistěte integrační meze.
To zjistíte tak, že vyřešíte rovnici: $(x^{2}+2x)e^{-x}=0$

prost33

↑ Takjo: Po roznásobení a vytknutí mi zbylo $e\wedge -x*x\e *(x+2)$ , takže pokud na to jdu dobře, meze by měli být od -2 do 0

Takjo · 03. 02. 2015 16:45

↑ prost33:
Dobrý den,
ano meze jsou správně.
Teď řešte neurčitý integrál: $\int_{}^{}(x^{2}+2x)e^{-x}dx$ (2x per-partes)

prost33 · 03. 02. 2015 17:02

↑ Takjo: Šel jsem na to takhle
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-02/79353_aaaashhasdadsasd.jpg

Takjo · 03. 02. 2015 17:20

↑ prost33:
Dobrý den,
téměř super.
Integrál je vypočten správně, jen jste udělal drobnou (avšak zásadní) chybu: pro $e^{-x}$ po dosazení -2 vyjde $e^{-(-2)}=e^{2}$ .
Mně však vyšlo -4.

prost33 · 03. 02. 2015 17:28

↑ Takjo:
Aha, jasně tu chybu chápu, škoda.

Spočítal jsem to od toho dosazení -2 a vyšlo $(-2e\wedge 2) - 2e\wedge 2$ což se rovná $-4e\wedge 2$ .
Takhle jste to myslel?

Takjo · 03. 02. 2015 17:39

↑ prost33:
Dobrý den,
zintegrováno máte správně, jen to trochu učešeme:
$(x^{2}+2x)(-e^{-x})-(2x+2)e^{-x}-2e^{-x}=(-e^{-x})(x^{2}+2x+2x+2+2)=(-e^{-x})(x^{2}+4x+4)$
A teď zkuste dosadit meze.

prost33

↑ Takjo:

Dobře, díky. Dělal jsem asi už delší dobu chybu, že cokoliv na nultou je jedna např. $e\wedge 0$ , ale nechával jsem to jakoby ve tvaru $e\wedge 1$ . , prostě nedal jsem to jako jedničku :)
A ještě bych se dovolil zeptat k tomu 1. příkladu, znovu jsem se na to díval, tak vadilo by, kdybych u té prvotní substituce $sin x=t$ přepočítaval i meze? Myslím, že se to tak u substituce musí dělat, ale já to při výše zmíněném postupu neudělal, neboť jsem na to klasicky zapomněl. V tom případě by ty meze byli od 0 do 1.

Takjo · 03. 02. 2015 18:03

↑ prost33:
Dobrý den,
ad 1) Ano, po substituci u určitého integrálu je vhodné hned přepočítat meze a řešit ho jako určitý integrál. Je to jednodušší.

ad 2) Tady nezapomeňte, že celá plocha leží pod osou x, proto vyšel výsledek záporný.
Což ovšem odporuje zdravému rozumu (záporná plocha neexistuje).
Takže je třeba počítat s absolutní hodnotou výsledku, nebo již při výpočtu určitého integrálu zaměnit meze,
nebo dát před integrál znaménko mínus.

prost33 · 03. 02. 2015 18:05

↑ Takjo:

Dobře, zase jsem o něco chytřejší.

Moc Vám děkuji za pomoc a za ochotu :-) !!!

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2015 15:35

Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#2 03. 02. 2015 15:40

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#3 03. 02. 2015 15:49 — Editoval prost33 (03. 02. 2015 16:07)

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#4 03. 02. 2015 16:08

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#5 03. 02. 2015 16:25

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#6 03. 02. 2015 16:33

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#7 03. 02. 2015 16:38 — Editoval prost33 (03. 02. 2015 16:39)

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#8 03. 02. 2015 16:45

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#9 03. 02. 2015 17:02

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#10 03. 02. 2015 17:20

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#11 03. 02. 2015 17:28

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#12 03. 02. 2015 17:39

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#13 03. 02. 2015 17:55 — Editoval prost33 (03. 02. 2015 17:56)

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#14 03. 02. 2015 18:03

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

#15 03. 02. 2015 18:05

Re: Integrace - obsah obrazce ohraničeného křivkou a osou x

Zápatí