Matematické Fórum

mark72 · 03. 02. 2013 13:23

Mohl by mi někdo pomoct s tímto příkladem?

Napište rovnici kružnice, která prochází bodem $M[2,1]$ a dotýká se daných přímek $p_{1}: x-y-3=0, p_{2}: 7x+y+3=0$ .

Výsledek: $(x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\frac{9}{2})^{2}=\frac{25}{2}$

Předem děkuji :)

Arabela · 03. 02. 2013 14:28

Ahoj ↑ mark72:,
táto úloha má dve riešenia: $S_{1}=[\frac{5}{2};\frac{9}{2}]$ a $S_{2}=[1;0]$ .
Ja som použila pri riešení vzorec pre vzdialenosť bodu od priamky v rovine - konkrétne, vzdialenosť bodu $S[m;n]$ od priamky p1 sa rovná jeho vzdialenosti od priamky p2, a to sa rovná r.
Z rovnosti vzdialeností po úpravách vyšlo
$5|m-n-3|=|7m+n+3|$ .
Ďalej som využila vlastnosti absolútnej hodnoty, konkrétne
$\forall a, b \in R : (|a|=|b|) \Leftrightarrow (a=b \vee a=-b)$ .
Z toho mi vyšlo po úpravách
m+3n = -9 alebo 3m-n = 3.
Ďalej som využila stredový tvar hľadanej kružnice a skutočnosť, že bod M má patriť kružnici, ako aj vyjadrenie polomeru r pomocou m, n (zo spomínaných vzdialeností).
Vyjadrenie m+3n=-9 neviedlo k riešeniu.
Z vyjadrenia 3m-n=3 dostávame zmienené riešenie
$m_{1}=\frac{5}{2}, n_{1}=\frac{9}{2}$ a
$m_{2}=1, n_{2}=0$ .
Dopočítať polomery kružníc už nie je problém...

mark72 · 04. 02. 2015 17:26

došla jsem po m+3n = -9 a 3m-n = 3, ale vůbec nevím, jak dál..

misaH · 04. 02. 2015 18:46

↑ mark72:

Poriadne si prečítaj, čo píše Arabela.

Nič k tomu netreba dodať.

Zapíš stredovú rovnicu kružnice.

Zapíš, že na nej leží bod M.

Vyjadri jednu neznámu z jednej rovnice pre m,n.

Dosaď ju do oboch strán rovnice (polomer kružnice sa rovná vzdialenosti stredu od priamok).

Dostaneš rovnicu s 1 neznámou.

Arabela Ti to "predžula", tak to využi.

Matematické Fórum

#1 03. 02. 2013 13:23

Kuželosečky - kružnice

#2 03. 02. 2013 14:28

Re: Kuželosečky - kružnice

#3 03. 02. 2013 17:35 Příspěvek uživatele mark72 byl skryt uživatelem mark72.

#4 04. 02. 2015 17:26

Re: Kuželosečky - kružnice

#5 04. 02. 2015 18:46

Re: Kuželosečky - kružnice

Zápatí