Matematické Fórum

lukki007 · 29. 03. 2015 14:23

Zdravím, dostal jsem za domácí úlohu důkaz platnosti tvrzení, ale nevím jak začít. Hádám, že by se na to dala použít indukce, ale nevím přesně jak ji využít, proto bych chtěl někoho poprosit o "nakopnutí" jak na to a zbytek bych třeba dopočítal a postnul já.

Které z následujících tvrzení platí pro všechna kladná reálná čísla x?
(a) $\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor = \lfloor \sqrt{x} \rfloor$
(b) $\lceil \sqrt{\lceil x \rceil} \rceil = \lceil \sqrt{x} \rceil$
(c) $\lceil \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rceil = \lceil \sqrt{x} \rceil$

Pro a-c bych měl dokázat že platí pro všechna x, nebo alespoň pro jedno neplatí. (Experimentálně-dosazováním, jsem to již zjistil, ale potřeboval bych se na to podívat obecně.)

Díky,
Petr

Jinak jsme probírali tuto kapitolu, Kapitola 1.2.4 - Celočíselné funkce a teorie čísel z Donalda Knutha, Umění programování.

byk7 · 29. 03. 2015 14:35

Řekl bych, že a),b) platí, ale ještě to neumím dokázat. Možnost c) neplatí, jako protipříklad např. x=4.1.

byk7 · 29. 03. 2015 15:03 — Editoval byk7 (29. 03. 2015 15:26)

Tak třeba a):

Pro jednoduchost zápisu označme $x=k+a$ , kde $\lfloor x\rfloor =k$ a $x-k=a\in\langle0,1)$ . Číslo $k$ můžeme jednoznačně zapsat jako $k=n^2+m$ kde $n\in\mathbb N$ a $0\le m<2n+1$ (tj. $m\le 2n$ ). Pak zřejmě $n\le\sqrt{k}=\sqrt{n^2+m}<\sqrt{n^2+2n+1}<n+1$ , takže $\Bigl\lfloor\sqrt{k}\Bigr\rfloor=n$ .

Nyní chceme ukázat, že také $\Bigl\lfloor\sqrt{k+a}\Bigr\rfloor=n$ . Protože $m\le 2n$ a $a<1$ tak také $m+a<2n+1$ . Opět máme, že $n\le\sqrt{k+a}=\sqrt{n^2+m+a}<\sqrt{n^2+2n+1}=n+1$ ,

což je požadovaný závěr, tj. $\Bigl\lfloor\sqrt{k}\Bigr\rfloor=n=\Bigl\lfloor\sqrt{k+a}\Bigr\rfloor$ .

S b) to bude podobné, použiju stejné značení. Pokud je $x$ celé, pak tvrzení platí triviálně. Dále předpokládejme, že $a>0$ . Pro čísla $x$ , která nejsou celá platí $\lceil x\rceil=k+1$ , chceme tedy ukázat, že $\left\lceil\sqrt{k+1}\right\rceil=\left\lceil\sqrt{k+a}\right\rceil$ , zřejmě platí $n<\sqrt{k+1}=\sqrt{n^2+m+1}\le\sqrt{n^2+2n+1}=n+1$ , takže $\left\lceil\sqrt{k+1}\right\rceil=n+1$ . Naopak platí $n+1>\sqrt{n^2+m+a}=\sqrt{k+a}\ge\sqrt{n^2+a}>\sqrt{n^2+0}=n$ .), tzn. $n<\sqrt{k+a}<n+1\Rightarrow\left\lceil\sqrt{k+a}\right\rceil=n+1$ a jsme hotovi.

lukki007 · 29. 03. 2015 20:05

Díky moc byk7 za tak rychlou reakci.
Celkově jsem to snad pochopil, ale není mi jasné vyjádření dolní celé části ( $k$ ). Mohl bys přidat komentář, abych pochopil jak se to celé číslo dá zapsat jako $n^2+m$ ? A klidně i nějakou literaturu, kde bych se o tom mohl dozvědět víc. Díky!

byk7 napsal(a):
... Číslo $k$ můžeme jednoznačně zapsat jako $k=n^2+m$ kde $n\in\mathbb N$ a $0\le m<2n+1$ (tj. $m\le 2n$ )...

byk7 · 29. 03. 2015 20:19

Proč to jde? Podle mě je to "zřejmé"

1=1^2+0
2=1^2+1
3=1^2+2
4=2^2+0
5=2^2+1
6=2^2+2
7=2^2+3
8=2^2+4
9=3^2+0
10=3^2+1
...

Prostě pro dané $k$ najdeš vždy $n$ takové, že $n^2\le k<(n+1)^2$ . Pak je samozřejmě $n=\Bigl\lfloor\sqrt{k}\Bigr\rfloor$ a $m=k-n^2$ . Nebo jinak každé číslo můžeš ohraničit nějakými dvěma druhými mocninami.