Matematické Fórum

check_drummer · 12. 04. 2015 16:43

Ahoj,
nedávno jsem narazil na zajímavou souvislost: Nechť a,b,c jsou strany trojúhelníku T. Nechť $f(p,q):=p.(a/2)^2+q.(b/2)^2-pq(c/2)^2$ je polynom, kde (*) p+q=1. Tento polynom je vcelku symetrický a nic nenasvadčuje tomu, že je nějak speciálně zvolen - aby z něj vyplynula následující fakta. V tomto směru je zajímavé, že když dosadíme q=1-p (z (*)) do f(p,q), tak dosatneme $c^2/4.p^2+(a^2-b^2-c^2)/4.p+b^2/4$ (což je kvadatický polynom v proměnné p) - a výpočtem se snadno přesvěečíme, že pro diskriminant D tohoto polynomu je hodnota $\sqrt{-D}$ přesně (dle Herovona vzorce) plocha trojúhelníku T.
Otázka je, zda je to pouhá "náhoda" a nebo zda tento polynom má nějaký hlubší vztah k T. (Případně zda lze podobnými polynomy zkoumat "zobecněné trojúhelníky" - simplexy - ve vyšších dimenzích.)
Děkuji za postřehy.

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2015 16:43

Plocha trojúhelníku a diskriminant jistého polynomu

Zápatí