Matematické Fórum

VaanClancy

Zdravím mám tohle zadání: Rozhodněte, zda je funkce $\textit{f}$ spojitá v R, je-li

$\textit{f(x)}=(1-cos (2x)) / (x^2)$ , x=R \{0} ; $\textit{f(x)}=2, je-li x=0$

Vím že se to bude určitě počítat přes limity al nevím jak. Za každou radu budu vděčný.

Sherlock

No, zkrátka budeš počítat limitu funkce $y=\frac{1-\cos 2x}{x^{2}}$ v bodě $0$ . A musí ti vyjít dvojka :) asi víš proč.

Jinak šel bych na to přes "známou" limitu $\lim_{a\to0}\frac{1-\cos a}{a^{2}}=\frac{1}{2}$

VaanClancy

@Sherlock diky za odpověď , ale bohužel ani tohle mě nenakoplo dobrým směrem. ( L'Hopitalovo pravidlo ještě neumím, zatím jsme to totiž neprobírali na vš a jsem už šest let mimo školu :D )

Freedy · 24. 10. 2015 21:25

Ahoj,

nepotřebuješ L'hospitalovo pravidlo
Tvojí limitu můžeš upravit také následovně:
$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos ^2x+\sin ^2x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2\sin ^2x}{x^2}=\lim_{x\to0}2\bigg(\frac{\sin x}{x}\bigg)^2=2$

Limitu $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ můžeš dokázat například přes jednotkovou kružnici.
Takže limita v tomto bodě je rovna 2. Funkci máš v bodě 0 dodefinovanou jako $f(0)=2$ . Funkce je tedy spojitá.

misaH · 24. 10. 2015 21:27

↑ VaanClancy:

Veď o tom pravidle Sherlock nehovorí.

Hovorí o "známej" limite. Nauč sa ju a použi.

Vieš ako?

VaanClancy · 24. 10. 2015 21:33

@Freedy Díky moc, na úpravu $\text{cos2x = } cos^2x + sin^2x$ že to jde takhle jsem totálně zapomněl. Teď už to dává smysl.

VaanClancy · 24. 10. 2015 21:34

↑ misaH: Rád se přiučím :)

Sherlock

↑ Freedy: tu už z nějakého mně neznámého důvodu napsal svoje řešení, tak já sem taky napíšu své:

Víme, že:
$\lim_{a\to0}\frac{1-\cos a}{a^{2}}=\frac{1}{2}$

Když uděláme substituci $a=2x$ , dostaneme:

$\lim_{a\to0}\frac{1-\cos 2x}{4x^{2}}=\frac{1}{2}$ , což stačí vynásobit $4$ a dostaneme hledanou limitu:
$\lim_{a\to0}\frac{1-\cos 2x}{x^{2}}=2$

↑ VaanClancy: pozor, platí
$\text{cos2x = } cos^2x - sin^2x$ (s mínusem!)

s plusem platí totiž tohle $1= cos^2x + sin^2x$