Matematické Fórum

Adamusos · 16. 11. 2015 16:44

Ahoj,

mám funkci $f_{x}=2^{x}-3^{x}$ a mám určit její limitu v krajních bodech.

$D_{f}=(-\infty ,\infty )$

$\lim_{x\to \infty }2^{x}-3^{x}$ vede to na $\infty -\infty$ takže vytknu

$\lim_{x\to \infty }3^{x}*((\frac{2}{3})^{x}-1)$

$\infty *0 -1*\infty =-\infty$

naopak pokud chci

$\lim_{x\to -\infty }2^{x}-3^{x}$

tak bude vše stejně a dostanu + nekonečno ne? Ve výsledcích je pro to druhé výsledek 0.

Sherlock

Graf exponenciální funkce $3^{x}$ .

$2^{x}$ vypadá podobně. Jak to bude s jejich rozdílem?

Al1 · 16. 11. 2015 17:03

↑ Adamusos:

Zdravím,

úprava je dobrá, ale další výpočet se mi nezdá, neboť ty vlastně opět dosazuješ do původního výrazu (takže žádné roznásobování)

$\lim_{x\to \infty }3^{x}\cdot \bigg(\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^{x}-1\bigg)=\infty \cdot (0-1)=\infty \cdot (-1)=-\infty$

Pak jistě správně spočítáš druhou limitu

Adamusos · 16. 11. 2015 17:20

↑ Al1:

Ano já to takhle jak to píšeš ty myslel, jen sem to napsal víc kostrbatě, ta $\lim_{x\to \infty }$ mi i vyšla, ale jde mi o to, že pokud mám podruhé $\lim_{x\to -\infty }$ jediné co se mi mění je to dosazované $\infty$ a když to teda dosadím do té tvé rovnici už po té první úpravě měl bych dostat $-\infty *(0-1)=\infty$

Adamusos · 16. 11. 2015 17:21

↑ Sherlock:

Mažou se teoreticky. To ano, ale proč tedy jednou 0 a podruhé $-\infty$

Al1 · 16. 11. 2015 17:32

↑ Adamusos:

Však se podívej na graf, který sem vložil kolega.

$\lim_{x\to-\infty }3^{x}=0$

Adamusos · 16. 11. 2015 18:13

↑ Al1:

Vidím limity dnes poprvé tak mi to asi trvá promiň... z grafu to přečtu, ale ten potom mít nebudu. Přijde mi že to co nechápu je to $3^{-\infty }$ , učil jsem se a tu $\lim_{x\to \infty }$ jsem dělal podle toho, že když mám exponenciálu tak ten výsledek záleží na základu. A že když je základ větší jak 1, dostanu nekonečno. Odtud jsem přišel v té první rovnici k $\lim_{x\to \infty }3^{x}*((\frac{2}{3})^{x}-1)=\infty *0 -1*\infty =-\infty$ , toto je dobře?

Al1 · 16. 11. 2015 18:24

↑ Adamusos:

Tu limitu jsem už jednou opravoval

$\lim_{x\to \infty }3^{x}\cdot \bigg(\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^{x}-1\bigg)=\infty \cdot (0-1)=\infty \cdot (-1)=-\infty$

Jinak pro $\lim_{x\to-\infty }2^{x}-3^{x}=0-0=0$

Exponenciální fce je rostoucí pro základ větší než jedna. Takže platí pro $a>1$
$\lim_{x\to\infty }a^{x}=\infty\nl \lim_{x\to-\infty }a^{x}=0$

Exponenciální fce je klesající pro základ mezi 0 a 1. Takže platí pro $0<a<1$

$\lim_{x\to\infty }a^{x}=0\nl \lim_{x\to-\infty }a^{x}=\infty$