Matematické Fórum

Dnes už nemám kdy, ale zítra odpoledne se pokusím napsat k tomu příspěvek, pokud tak mezitím neučiní někdo jiný

↑ kubO:
Je to celkem jednoduché.

Variace - záleží na pořadí - například při frontě na maso, při různých losovacích soutěží, kde musíš uhádnout třeba pětičíslí, nebo když se volí třeba předseda, zástupce, náměstek atd...

Kombinace - nezáleží na pořadí - například tvorba volejbalového mužstva, sportka, atd...

S opakováním/bez opakování - už z názvu lze odvodit, čeho se to týká. S opakováním je třeba tvorba petičíslí z cifer 2;3;5 - je jasné, že se tam, musí nějaká opakovat. Nebo třeba když se tvoří telefonní čísla, nebo značky aut, mohou se tam číslice opakovat.

Jinak doporučuji Wiki a následující odkazy:
Kombinace
Variace
Permutace

Přiznám se, že pojetí středoškolské kombinatoriky nepovažuji za příliš šťastné. Tak především: definice variací a kombinací se opírají o pojmy jako
"skupina", "zálaží/nezáleží na pořadí", "prvky se mohou/nemohou opakovat",  které do matematiky nepatří a mohou tak vyvolávat rozpaky a nejasnosti,
dále: dvojice pojmů  variace - variace s opakováním,  kombinace - kombinace s opakováním  nevystihují způsobem své konstrukce vztahy mezi
obecným a speciálním, které zde existují - ba právě naopak tyto vztahy zatemňují.
Pokud bych měl do těchto záležitostí co mluvit, postavil bych středoškolskou kombinatoriku poněkud jinak. Rád bych zde tuto alternativu předložil
k případné diskusi. Pojmy, které jsou míněny v "mém" pojetí, píši vždy v uvozovkách,  v závěru příspěvku  je pak dám do souvislostí se standardní terminologií -
standardní termíny budu psát velkými písmeny.


A. VARIACE (bez ohledu na případné opakování).  Nechť jsou dány  m-prvková množina M  a množina  K = {1,2,...,k} , již nazveme "množinou pozic".

I d e a : Určit variaci z prvků množiny M znamená určit  funkci (=zobrazení), která každé pozici z množiny K přiřadí některý prvek množiny M.

D e f i n i c e .  "Variací k-té třídy (nebo též: délky k) prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci z množiny K do množiny M
(tj. D(f) = K, H(f) je částí M).   Je-li tato funkce prostá, hovoříme o "prosté variaci", případně o "variaci bez opakování".


B. KOMBINACE  (bez ohledu na případné opakování). Nechť je opět dána m-prvková množina M.

I d e a : Určit kombinaci prvků z množiny M znamená ke každému prvku množiny M určit počet jeho výskytů v této kombinaci.

D e f i n i c e . "Kombinací prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci f z množiny M do množiny {0,1,2, ...} .  Dále nazýváme
- číslo f(x) "počtem výskytů prvku x v kombinaci f" ,
- číslo jejím "typem",
- číslo její třídou (nebo též "délkou").
O kombinacích "typu" 1 hovoříme jako o "kombinacích bez opakování".


Souvislosti se standardní terminologií (pojmy uvádím v jednotném čísle):

VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "prostá variace k-té třídy z m prvků",
VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "variace k-té třídy z m prvků - bez ohledu na to, zda je prostá",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "kombinace k-té třídy z m prvků, jejíž typ je roven 1",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "kombinace k-té třídy z m prvků - jejíž typ může být libovolný".

↑ petrkovar:

Především děkuji za reakci.

Navržená definice kombinací se mi osvědčila ke srozumitelnému odvození vzorce pro počet C'(n,k) klasikých kombinací s opakováním.
Ale netvrdím, že tento systém je bez nedostatků. 


K té úloze "Kolik je kombinací 7. třídy z 5 prvků, jejíž typ je roven 3?":

Pokoušet se o odvození obecného vzorce jsem zatím nepovažoval za nutné, ale tuto výzvu výhledově přijímám.

Prozatím jen konkretně a schematicky, určitě to bude srozumitelné i bez podrobného komentáře:

7   =  3  +  1  + 1  +  1  +  1     ......   počet možností :  5  ,
7   =  3  +  2  + 1  +  1  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 ,
7   =  3  +  2  + 2  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*(4 nad 2)  *)
7   =  3  +  3  + 1  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 , OPRAVA:  5*(4 nad 2)  obdobně jako o řádek výše

tedy pokud jsem se někde nesekl.

*)...  využil jsem toho, že  případ  "2  + 2  +  0  +  0"  má stejný počet možností jako případ  "1  + 1  +  0  +  0" .

Jak tuto úlohu zformulovat v klasických pojmech ? Bylo by to komplikovanější a připadá mi, ža ani řešení by nebylo snazší.

↑ petrkovar:
Ten "typ" u "kombinace" jsem zavedl jen proto,  aby se jeho prostřednictvím zjednodušila definice kombinace bez opakování.   Bez tohoto
v podstatě pomocného pojmu by jistě bylo možno se obejít, pokud by se ukázalo, že další uplatnění už nemá.

Zkušenosti učitele respektuji a jsem rád, že jste (jsi) se se mnou o ně podělil. Hledisko učit látku takovým způsobem, aby počet studentů,
kteří ji správně pochopí a dovedou použít, byl co největší, je samozřejmě správné.

Mezi důvody, proč jsem se snažil najít ke SŠ kombinatorice alternativní cestu, hrál svoji významnou a možná i hlavní roli právě onen vzpomínaný
vzorec pro počet kombinací s opakováním, jehož důkaz metodou "oddělovačů", jak byl prezentován v učebnici,  jsem tehdy vůbec nepochopil
(což byla v "mé" matematice na SŠ jedna z velmi mála situací tohoto druhu a je možné, že i jediná, protože na další takovou se nepamatuji)
a myslím, že i dnes bych s tím měl problém, o naději takovýmto způsobem vzorec samostatně odvodit ani nemluvě - teprve přes ty funkce jsem
do toho začal vidět.

Možná že jenom nejsem "kombinatorický typ" -  i v běžném životě mne leká, musím-li čelit velkému množství možností. :-)

EDIT .  Zakončím tento příspěvek úsměvnou příhodou:  Jeden můj známý se sklony k lehce sadistickému humoru - učitel statistiky na VŠ -
také studentům povoloval u zkoušky "tahák" - ovšem pouze formátu A5 a tahák musel být "přihlášen".  Když jistý student přišel s tahákem
velikosti A4, dotyčný učitel mu jej přetrhl na dvě půlky a dal mu vybrat, kterou půlku si chce ponechat.