Matematické Fórum

iops · 19. 01. 2016 20:45

Dobrý večer,

při svém studiu jsem se dostal ke Cauchyově vzorci a řeším tu dilema u jednoho příkladu. a to: $\int_{\gamma }^{}\frac{dz}{z^2+1}$ kde gamma je kladně orientovaná kružnice s poloměrem r = 3.
Ve sbírce příkladů z VUT je to řešeno přes parciální zlomky, jenže já nevím proč to rozkládat na parciální zlomky, když jsme to ve škole dělali stylem, který zde naznačím:
1) Rozložit jmenovatele:
$\int_{\gamma }^{}\frac{dz}{z^2+1}=\int_{\gamma}^{}\frac{1}{(z+j)(z-j)}dz$

2) zjistit které body se vejdou do zadané kružnice a udělat si jiné křivky a jejich integrály udělat podle Cauchyova vzorce a za f(z_0) vzít vždy jeden ten bod.
například pro hodnotu z_0 = -j. Vzniklé částečné integrály sečíst.

$\int_{\gamma}^{}\frac{\frac{1}{z-j}}{z+j}dz=2\pi j (\frac{1}{-2j})=-\pi$

POZN: V té knize je napsáno, že Cauchyův vzorec nelze použít pro funkci, která vznikla v odstavci 1). Ale doopravdy mne nenapadá proč. Prosím, poradí mi někdo? Mnohokrát děkuji za odpověď.

jelena · 20. 01. 2016 11:28

Zdravím,

pokud máš na mysli oblíbenou sbírku úloh, potom je třeba doplnit kompletní zadání i včetně křivek, bez tohoto Tvé odůvodnění "nejde použit" (nebo "jde") nedává souvislost.

V případě úlohy 4.2.3 b) úprava $\int_{\gamma}^{}\frac{\frac{1}{z-j}}{z+j}dz=2\pi j (\frac{1}{-2j})=-\pi$ vytváří v čitateli $f(z)=...$ , v jmenovateli máš $(z-z_0)$ - pro ten bod, který je uvnitř křivky (druhý je mimo a už nás netrápí), lze použit C. vzorec dle teoretického vstupu v kap. 4.2

V případě úlohy 4.2.3 e) oba body leží uvnitř křivky, tedy v jednom kroku nejde použit ani úpravu $\int_{\gamma }^{}\frac{dz}{z^2+1}=\int_{\gamma}^{}\frac{1}{(z+j)(z-j)}dz$ . Pokud rozdělíme ne parciální zlomky, každý integrál se vztahuje jen k jednomu bodu $z_0$ (který je uvnitř křivky) a opět je C. vzorec, ovšem pro každý integrál samostatně, bez ohledu na druhý.

Pokud by to nestačilo, raději vice podrobné výtahy z diskutované sbírky - nejlépe náhled na problémové místo i s barevným vyznačením, děkuji.

Přepis v TeX jsem kopírovala od kolegy, omluva za kvalitu provedení imaginárních jednotek :-)

Matematické Fórum

#1 19. 01. 2016 20:45

Komplexní čísla - Cauchyův vzorec - kdy rozkládat na parciální zlomky?

#2 20. 01. 2016 11:28

Re: Komplexní čísla - Cauchyův vzorec - kdy rozkládat na parciální zlomky?

Zápatí