Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 01. 2016 01:17

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Posloupnost

Ahoj potřeboval bych poradit s tímto příkladem :D  Rozhodněte, zda posloupnost $\{n-2/n^{2}+1\}n=1\Rightarrow \infty $ je monotónní a omezená. Své tvrzení zdůvodněte.

Řešení:Posloupnost není monotónní, shora je omezená svým čtvrtým členem a4 = 2/17, zdola
prvním členem a1 = −1/2

Nevím jak příklad správně uchopit a kde začít a zda to dělám správně? prosím o pomoc a vysvětlení?

1) Jsem si učil a1 vyšlo mi -1/2 ok je to sup i min ok, ale vůbec nevím jak se přichází na maximum (VYSVĚTLÍ MI NĚKDO JAK ZJISTÍM U LIBOVOLNÉ POSLOUPNOSTI MAXIMUM)? (zkusil jsem udělat limitu v nekonečnu, ale ani náhodou se nedostanu k číslu 2/17.

2) a z monotonie podle vzorce $a_{n} - a_{n+1}=$ mi vychazí kvadratická rovnice ze které nevím jak uniknou :D

Děkuji za radu :D

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) prdec)

#2 24. 01. 2016 11:21

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

Ahoj, myslíš tím předpisem $\frac{n-2}{n^2+1}$? Nejdřív zkus zjistit, jestli je posloupnost omezená (můžeš snadno využít implikace konvergentní$\Rightarrow $omezená). Správně jsi určil, že minimum je -1/2. Kolik vyšla limita? Budeme předpokládat, že posloupnost je monotónní - rostoucí, tj. mělo by platit $a_{n}<a_{n+1}$. Vyjde Ti kvadratická nerovnice. Uvaž, jestli tahle nerovnice platí pro všechna $n$, případně pro která n už neplatí. Napiš, jak to jde. :)

Offline

 

#3 24. 01. 2016 14:51

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Re: Posloupnost

Díky za odpověď :D

Mě vyšlo pro vzorec $a_{n}<a_{n+1}$ -> $n^{2}-2n-5<0$

a potom $n_{1,2}=1\mp 2\sqrt{6}$

Offline

 

#4 24. 01. 2016 15:16

Al1
Příspěvky: 7782
Reputace:   540 
 

Re: Posloupnost

↑ prdec:

Zdravím,

tak ta nerovnice je chybně, správně je $n^{2}-3n-3<0$

Offline

 

#5 24. 01. 2016 15:23 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:24)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

↑ prdec: Jj, máš chybu v té nerovnici, jak psal Al1.. No ale $n$ jsou přirozená čísla. ;) Jde teď o to zamyslet se nad tím, jestli nerovnost platí pro všechna n, zkus dosazovat za n..

Offline

 

#6 24. 01. 2016 15:27

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Re: Posloupnost

Jo díky už mi to taky vyšlo :D

Offline

 

#7 24. 01. 2016 15:28

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Re: Posloupnost

Jo díky už mi to taky vyšlo :D

$n_{1,2}=\frac{3\mp \sqrt{21}}{2}$

ALE CO DÁL?

Offline

 

#8 24. 01. 2016 15:30

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

↑ prdec: Ta $n$ jsou daná - jen přirozená čísla: 1, 2, 3, 4, 5,... Dosazuj za $n$ a zkoumej, jestli nerovnost platí, případně od kterého $n$ už neplatí.

Offline

 

#9 24. 01. 2016 15:35

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Re: Posloupnost

Neplatí až od n=4, ne?

Offline

 

#10 24. 01. 2016 15:38

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

Pokud by platila pro všechna $n$, potom by byla posloupnost rostoucí, pokud od určitého indexu $n$ už nerovnost neplatí, potom máme šanci zjistit, u kterého členu posloupnosti se "mění směr". Což nás navede na to, kde je maximum. ;)

Offline

 

#11 24. 01. 2016 15:41

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

↑ prdec: Přesně tak. :) Zkus si představit, co to znamená. Předpokládali jsme rostoucí posloupnost, což platilo až do $a_{_{3}}$.

Offline

 

#12 24. 01. 2016 15:49 — Editoval nanny1 (24. 01. 2016 15:50)

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

Od $a_{4}$ dál bychom museli nerovnost otočit, aby platila, tj. posloupnost je od $a_{4}$ klesající a jde hodně pomalu k nule (k limitě posloupnosti). Takže v $a_{4}$ posloupnost "mění směr", a protože je to změna z rostoucí na klesající, musí tam být maximum.

Offline

 

#13 24. 01. 2016 15:56

nanny1
Místo: Plzeň
Příspěvky: 340
Škola: FAV
Reputace:   16 
 

Re: Posloupnost

Je to jasný? Zkus si kdyžtak dosadit přímo do předpisu posloupnosti, např. pro $n=3,4,5$. Uvidíš, že pro $n=4$ vyjde největší hodnota.

Offline

 

#14 24. 01. 2016 16:05

prdec
Příspěvky: 78
Reputace:   -1 
 

Re: Posloupnost

Jo tak díky moc :D

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson