Matematické Fórum

ninjashinobu1235 · 06. 02. 2016 22:55

Ahoj, potřeboval bych pomoct vyřešit tento příklad kdyby se opakoval na další zkoušce :)

Spočtěte:
$\int_{\gamma }^{}\frac{z^2dz}{(z^2 + 1)^2}$
kde $\gamma$ je kružnice $|z| = 5$

Můj postup:
Je to příklad na cauchyův vzorec takže bych potřeboval tvar $\int_{\gamma }^{}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^2} = \frac{2\Pi i}{1!}f'(z_{0})$

No, pokud by nebylo ve jmenovateli $z^2$ , ale $z$ tak bych to řešil takto:
$f(z) = z^2$
$f'(z) = 2z$
$z_{0} = -1$
$f'(z_{0}) = -2$

a výsledek by tedy byl $2\Pi i*(-2) = -4\Pi i$
Problém je, že $(z^2 + 1)^2$ mi nejde nijak rozumně rozložit, protože $z^4+2z^2+1$ ani $(z^2+1)(z^2+1)$ mi tu moc nepomůžou.

jelena · 07. 02. 2016 11:06

Zdravím,

rozklad $(z^2+1)=(z+\mathrm{i})(z-\mathrm{i})$ , oba póly však jsou uvnitř oblasti, tedy nejspíš upravit na součet 2 (nebo více) integrálů tak, aby každý se vztahoval jen jednomu $z_0$ . S kolegou jsme diskutovali podobnou situaci, také se podívej do odkazu, jelikož se mi Tvůj Cauchy vzorec se zdá být správný. Stačí tak na úvod? Děkuji.

ninjashinobu1235

Děkuji, nad rozkladem na i jsem nepřemýšlel, počítal bych to tedy takto:
$\int_{\gamma }^{}\frac{z^2dz}{(z-i)^2*(z+i)^2} = \int_{\gamma }^{}\frac{\frac{z^2dz}{(z-i)^2}}{(z+i)^2}$

$f(z) = \frac{z^2}{(z-i)^2}$
$z_{0} = -i$

Podle vzorce $f(z)' = [\frac{u}{v}]' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$f(z)' = \frac{2z(z-i)^2 - z^2*2(z-i)}{(z-i)^4}$

$f'(z_{0}) = \frac{-2i*(-2i)^2 +1*2(-2i)}{(-2i)^2*(-2i)^2}= \frac{-2i*(-4)-4i}{-4*(-4)}= \frac{8i-4i}{16} = \frac{4i}{16} =\frac{i}{4}$

Výsledek by byl:
$2\pi i*\frac{i}{4} = -\pi /2$

Je to správný postup? Děkuji.

jelena · 07. 02. 2016 16:04 — Editoval jelena (07. 02. 2016 16:29)

↑ ninjashinobu1235:

děkuji, to asi nebude dobře, jelikož pořád v jednom kroku výpočtu pracuješ s oběma póly (musela by být taková úprava výrazu $\frac{z^2}{(z-i)^2\cdot(z+i)^2}$ , která od sebe jednotlivé póly oddělí do samostatných integrálů (takovou úpravu do parciálních zlomků typů $\frac{A}{(z-i)}+\frac{B}{(z+i)}+\frac{C}{(z-i)^2}+\frac{D}{(z+i)^2}$ (edit: oprava jmenovatelů)

Což může být nadlouho (ale vyzkoušet můžeš). Druhá možnost je využití rozdělení oblasti (u nás kružnice se středem (0,0) a poloměrem $r=5$ ) na uzavřené podoblasti tak, aby každý pol se dostal do své oblasti, která nezasahuje do oblasti druhého pólu, potom na každou oblast použit Cauchy vzorec (v materiálech byste měli mít k tomu platnou větu - důsledek). Narychlo nenajdu lepší použitelný obrázek, než tento v RJ: příklad 3-10 a obrázek 21 (je to i přesně případ Tvých pólů) Odkaz. Jinak postup budeš mít v pořádku, jen Tobě chybí stejnou techniku použit také na druhý pól. Zatím jsi pracoval jen s jedním (-i).

Ještě k zápisu (už jsem pochopila, že znakem $\Pi$ neznačíš produkt, ale jen \pi ( $\pi$ ). Nemáte váš materiál online? Děkuji.

ninjashinobu1235 · 07. 02. 2016 16:23

Děkuji za pomoc, $\pi$ jsem v druhém příspěvku opravil(první nejde editovat) a omlouvám se za zmatky, přehlédl jsem ho v nabídce LaTeXového editoru. Materiál bohužel online nemám.

jelena · 07. 02. 2016 16:39

↑ ninjashinobu1235:

materiál - nevadí, že není (určitě v něm tvrzení ohledně využití rozdělení na oblasti budete mít) - něco v takovém smyslu - kap.2.2. K řešení - můžeš odzkoušet jak parciální zlomky (ještě jsem opravila první 2 jmenovatele), nebo přímo důsledek Cauchy věty (teorie + RJ materiál by to měl projasnit dostatečně).

ninjashinobu1235 · 07. 02. 2016 17:30

↑ jelena:
Děkuji.

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2016 22:55

Cauchyůvho vzorec

#2 07. 02. 2016 11:06

Re: Cauchyůvho vzorec

#3 07. 02. 2016 14:13 — Editoval ninjashinobu1235 (07. 02. 2016 16:17)

Re: Cauchyůvho vzorec

#4 07. 02. 2016 16:04 — Editoval jelena (07. 02. 2016 16:29)

Re: Cauchyůvho vzorec

#5 07. 02. 2016 16:23

Re: Cauchyůvho vzorec

#6 07. 02. 2016 16:39

Re: Cauchyůvho vzorec

#7 07. 02. 2016 17:30

Re: Cauchyůvho vzorec

Zápatí