Matematické Fórum

Corisan · 12. 03. 2016 20:14

Zdravím, počítala jsem příklad $\int_{}^{}\frac{\cos x}{cos x - sin x + 1}dx$ . použila jsem substituci $t = tg \frac{x}{2}$ a došla k řešení $\frac{1}{2}ln|tg^{2}\frac{x}{2} + 1| + arctg (tg\frac{x}{2}) + c$ (s pomocí online programu). mám provést zkoušku derivací, ale vůbec si s tím nevím rady

předem díky za pomoc

Al1 · 12. 03. 2016 20:17 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 20:24)

↑ Corisan:

Zdravím,

prostě zderivuj svůj výsledek. Podívej se také na podmínky, za kterých existuje integrovaná fce. Pak se dá absolutní hodnota v logaritmu odstranit.

Edit: nemělo by být $\color{red}2\color{black}\ arctg\big(\text{tg}\frac{x}{2}\big)$ ?

Corisan

↑ Al1:nechávala jsem výsledek zderivovat (obojí na maw), ale výsledná derivace nebyla shodná se zadáním... navíc mi moc nebyla jasná úprava po zderivování... mohla bych to takhle přepsat do programu, ale nevím, jestli bych s tím obstála u učitele, když to 100% nechápu... :D

EDIT: teď jsem si všimla, že tam ta dvojka je, a to už vůbec nechápu proč...
EDIT2: už vím...

Al1 · 12. 03. 2016 20:49 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 20:49)

↑ Corisan:

Po přepočítání je tvůj výsledek správný, i když MAW mi spočítal jedním postupem skutečně 2arctg(tg(x/2)).

Po zderivování se budeš muset pustit do úprav s užitím goniometrických vztahů

Pavel · 12. 03. 2016 21:07 — Editoval Pavel (12. 03. 2016 21:09)

↑ Corisan:

Integrál lze řešit jednodušeji:

$\int \frac{\cos x}{1+\cos x - \sin x}\,\mathrm dx &=\int \frac{\cos x(1+\cos x+\sin x)}{(1+\cos x)^2 - \sin^2x}\,\mathrm dx =\int \frac{\cos x(1+\cos x+\sin x)}{2\cos^2 x + 2\cos x}\,\mathrm dx\\[.5\baselineskip] &=\frac 12\int \frac{\cos x(1+\cos x+\sin x)}{\cos x(\cos x +1)}\,\mathrm dx =\frac 12\int \frac{1+\cos x+\sin x}{\cos x +1}\,\mathrm dx\\[.5\baselineskip] &=\frac 12\int \frac{1+\cos x}{\cos x +1}\,\mathrm dx+\frac 12\int \frac{\sin x}{\cos x +1}\,\mathrm dx$

První integrál vyřešíš po zkrácení přímo, na druhý zabere substituce $t=\cos x+1$ .

Al1 · 12. 03. 2016 21:13

↑ Corisan:

Pokud budeš derivovat svůj výsledek, dostaneš $\frac{\cos x+\sin x+1}{\cos x+1}$ . A když si prohlédneš úpravy kolegy ↑ Pavel: (zdravím), tak se jejich užitím dostaneš ke svému integrandu.

Corisan · 12. 03. 2016 22:09

↑ Al1:

pořád zkouším, ale nejde se mi k integrandu dopočítat :(

↑ Pavel:

takové řešení by mě nenapadlo o_O ale stejně mám pořád problém s derivací...

Al1 · 12. 03. 2016 22:16 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 22:48)

↑ Corisan:

$\left(\frac{1}{2}\ln(tg^{2}\frac{x}{2} + 1) + \ arctg (tg\frac{x}{2}) + c\right)'=\nl =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{tg^{2}\frac{x}{2} + 1}\cdot 2\cdot \text{tg}\frac{x}{2}\cdot \frac{1}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{tg^{2}\frac{x}{2} + 1}\cdot \frac{1}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=\nl =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{tg^{2}\frac{x}{2} + 1}\cdot \frac{1}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}\left(\text{tg}\frac{x}{2}+1\right)=\frac{1}{2}\left(\text{tg}\frac{x}{2}+1\right)=\ldots$

Edit: oprava opomenutého činitele

Corisan · 12. 03. 2016 22:30

↑ Al1:

k tomu jsem se dostala... (i když mi tam ještě zbyla 1/2... to ale bude chyba u mě.) ale nevím, jak z toho dostat siny a kosiny. ze vzorce pro poloviční argument mi vychází odmocnina a té se pořád nemůžu zbavit...

Al1 · 12. 03. 2016 22:42 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 22:58)

↑ Corisan:

Tak tu polovinu jsem zapomněl napsat, omlouvám se.

$\frac{1}{2}\left(\text{tg}\frac{x}{2}+1\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\cdot \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos ^{2}\frac{x}{2}}{\cos ^{2}\frac{x}{2}}=\nl =\frac{1}{2}\cdot \frac{\frac{1}{2} \sin x+\frac{1+\cos x}{2}}{\frac{1+\cos x}{2}}=\ldots$

Corisan · 12. 03. 2016 23:26

↑ Al1:

už to mám, děkuji za pomoc! :)

Matematické Fórum

#1 12. 03. 2016 20:14

Zkouška integrálu

#2 12. 03. 2016 20:17 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 20:24)

Re: Zkouška integrálu

#3 12. 03. 2016 20:23 — Editoval Corisan (12. 03. 2016 20:39)

Re: Zkouška integrálu

#4 12. 03. 2016 20:49 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 20:49)

Re: Zkouška integrálu

#5 12. 03. 2016 21:07 — Editoval Pavel (12. 03. 2016 21:09)

Re: Zkouška integrálu

#6 12. 03. 2016 21:13

Re: Zkouška integrálu

#7 12. 03. 2016 22:09

Re: Zkouška integrálu

#8 12. 03. 2016 22:16 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 22:48)

Re: Zkouška integrálu

#9 12. 03. 2016 22:30

Re: Zkouška integrálu

#10 12. 03. 2016 22:42 — Editoval Al1 (12. 03. 2016 22:58)

Re: Zkouška integrálu

#11 12. 03. 2016 23:26

Re: Zkouška integrálu

Zápatí