Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Closed form of a combinatiorial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#2 31. 03. 2016 09:37
![$I_{m,n} = \int_{0}^{1}x^m(1-x)^n = \int_{0}^{1}x^m\left[\binom{n}{0}-\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+........+(-1)^n\binom{n}{n}x^n\right]dx$](/mathtex/f3/f3af4a0748a5e919f752cc50a4bf229a.gif "kopírovat do textarea")
![$I_{m,n} = \int_{0}^{1}\left[\binom{n}{0}x^m-\binom{n}{1}x^{m+1}+\binom{n}{2}x^{m+2}+.........+(-1)^n\binom{n}{m}x^{m+n}\right]dx$](/mathtex/9b/9b74f8f86bf5a2e311ff9fa59ed12ff6.gif "kopírovat do textarea")
Using Integration by parts, We get![$I_{m,n} = -\left[x^m\cdot \frac{(1-x)^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}+\frac{n}{m+1}\int_{0}^{1}x^{m-1}(1-x)^{n+1}dx$](/mathtex/21/21f4e0391b8e695672029354631f352a.gif "kopírovat do textarea")
![$I_{0,n+m} = \int_{0}^{1}x^{0}(1-x)^{m+n}dx = -\left[\frac{(1-x)^{m+n+1}}{m+n+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{m+n+1}$](/mathtex/da/dab462f7350740770e7a5b6621eacd8d.gif "kopírovat do textarea")
#3 31. 03. 2016 11:52
Re: Closed form of a combinatiorial sum
↑ stuart clark:
Dear stuart, thank you for your elemental approach. In fact, I used the same technique when considering the more general sum
(Any other approach without using derivatives and integration is welcomed.)
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z matematické analýzy
- » Closed form of a combinatiorial sum (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)