Matematické Fórum

Elisa · 03. 05. 2016 17:10 — Editoval Elisa (03. 05. 2016 17:12)

Dobrý den, jak se prosím dostanu k e? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/88351_0305201610737_1.jpg

Pritt · 03. 05. 2016 17:29

↑ Elisa:

Ahoj, platí:
$\lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e \nl \lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{i}{n})^{10n} = \lim_{n \rightarrow+\infty}((1+\frac{1}{\frac{n}{i}})^{\frac{n}{i}})^{10i} = e^{10i}$

Elisa · 03. 05. 2016 17:49

Děkuji a proč se
$\lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e$
rovná e?

Pritt · 03. 05. 2016 18:52 — Editoval Pritt (03. 05. 2016 18:53)

↑ Elisa:

Je to jedna z definic čísla $e$ .

Obecněji lze psát (což je i případ v tomto příkladu):

$\lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{p_n})^{p_n} = e$

Kde $(p_n)$ je reálná posloupnost, která splňuje : $\lim_{n \rightarrow +\infty}|p_n| = +\infty$ .

Eulerovo číslo lze vyjádřit i třeba takto:

$\lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^{n} = \lim_{n \rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1} = \lim_{n \rightarrow+\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} = e$