Matematické Fórum

dvorli · 27. 06. 2016 19:55 — Editoval dvorli (27. 06. 2016 21:35)

Dobrý den, dostala jsem za úkol určit graf primitivní funkce |cosx| , moje řešení bylo zjištění kdy je funkce záporná a kdy kladná a poté postupovat vyřešením dvou integrací. vyšlo mi sinx a -sinx. to jse mzaznamenala pro dane intervaly do grafu ale bylo to špatně kvůli nespojitosti funkce. díky moc radu.

Pritt · 27. 06. 2016 20:09

↑ dvorli:

Myslíš graf primitivní funkce k funkci $|\cos x|$ ? Graf primitivní funkce k $\int_{-4\pi }^{4\pi }|cosx|$ nedává moc smysl, protože $\int_{-4\pi }^{4\pi }|cosx|$ je pouze nějaké číslo.

dvorli · 27. 06. 2016 21:34

↑ Pritt: ano omlouvám se špatně vložené. Můžete minějak pomoci? DĚKUJI

Pritt · 27. 06. 2016 22:11

↑ dvorli:

Snad ano,
musíš rozdělit interval $<-4\pi;4\pi>$ na intervaly, kde je cos(x) kladný a kde záporný.

cos(x) je kladný na $<-\frac{\pi}{2} +2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi>, \; k \in \mathbb{Z}$ .
Záporný je na $<\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi>, \; k \in \mathbb{Z}$ .

Takže

$\int_{-4\pi }^{4\pi }|cosx|dx = \int_{-\frac{\pi}{2} +2k\pi }^{\frac{\pi}{2}+2k\pi }cos(x)dx + \int_{\frac{\pi}{2} +2k\pi }^{\frac{3\pi}{2}+2k\pi }-cos(x)dx$

Protože ale cos(x) je periodická funkce, můžeš spočítat hodnotu integrálu pouze na jednom z intervalů a pak vynásobit, kolikrát se vejde do intervalu $<-4\pi;4\pi>$ .

A nebo jednodušeji, ze znalosti grafu $|cos(x)|$ stačí počítat pouze integrál na jednom z intervalů, kde cos(x) je kladný. Tato hodnota se bude pouze opakovat.

Tedy

$\int_{-4\pi }^{4\pi }|cos(x)|dx = 8\cdot\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos(x)dx$

Protože $\frac{4\pi - (-4\pi)}{\pi} = 8$ . Toto číslo znamená, kolikrát se "vejde" interval o velikosti $\pi$ do intervalu o velikosti $4\pi - (-4\pi)$ . Což je interval, na kterém integrál počítáš.

dvorli · 27. 06. 2016 22:15

↑ Pritt: spočítané to mám ale spíše mě zajímá jak bude vypadat graf.

Pritt · 27. 06. 2016 22:46 — Editoval Pritt (27. 06. 2016 23:15)

↑ dvorli:

Pokud bys řešil $\int |cosx|dx$ dostaneš, že

$\int |cos(x)|dx = sin(x),\; x \in (-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi> \nl \int |cos(x)|dx = -sin(x),\; x \in (\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi>$

Spojitá funkce vypadá takto:

$\int |cos(x)|dx = sin(x-\pi \lfloor\frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor) + 2 \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor, x \in \mathbb{R}$

Aby to bylo pro tebe čitelnější, tak $sin(x-\pi \lfloor\frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor)$ vrací pořád stejné hodnoty sinu a to sice pouze pro x z intervalu $<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ .

$2 \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor$ Toto zajišťuje velikost skoku pro každý interval $<-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi) , \; k \in \mathbb{Z}$

Pro lepší představu, proč jsou ty skoky takto, se podívej, jak by vypadala nespojitá funkce:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Graf spojité funkce pak vypadá takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

dvorli · 29. 06. 2016 16:32

↑ Pritt: Děkuji mnohokrát. Moc mi to pomohlo. :)

vanok · 29. 06. 2016 16:55 — Editoval vanok (30. 06. 2016 11:10)

↑ Pritt:↑ dvorli:
Pozdravujem,
Len mala poznamka,
Akoze presnejsie mas
$\int |cos(x)|dx = sin(x)+c_k$ , na kazdom (pod)intervale $(-\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{\pi}{2}+2k\pi)$
a tiez
$\int |cos(x)|dx = -sin(x)+c'_k$ na kazdom (pod)intervale $(\frac{\pi}{2}+2k\pi;\frac{3\pi}{2}+2k\pi)$
kde $c_k;c'_k$ su lubovolne realne konstanty a $k$ cele cislo.
Poznamenajme, ze primitivna funkcia na R musi existovat, vsak lebo dana funkcia je spojita.
A tak mame nekonecne vela primitivnich funkcii co vyhovuju; na vyse upresnenich intervaloch;
Ale nam treba nast primitivnu funkciu na R, ktora musi byt derivovatelna na R a tak pochopitelne aj spojita na R (urcena vhodnimi dvojicamy $(c_k, c'_k)$ , ktore su formy $c^{\prime}_k=2+c_k$ , ako pripomenul kolega Jarro) ktorej restrickcie na popisane intervaly su primitivne funkcie integralu na tychto intervaloch ( najviac grafy inych takych funkcii sa lisia translaciou vo smere osy y). Jednu taku funkciu popisal kolega Pritt ( co som neoveril).
Je dobre overit , ze skutocne, derivacia najdenej funkcie da povodnu funkciu $f$ , $f(x)=|\cos x|$ .

Upresnene, vdaka poznamkam kolegu Jarro.

dvorli · 29. 06. 2016 17:02

↑ vanok: Muzu se jen zeptat, takze předpis grafu spojité primitivní funkce tedy vypadá přesně jak? Protože když jse mto zkoušela vykreslit pomocí předešlého zápisu tak mi to nakreslilo uplne jinak.

Pritt · 29. 06. 2016 17:10 — Editoval Pritt (29. 06. 2016 17:11)

↑ dvorli:

Předpis je v mém předešlém příspěvku:

$\int |cos(x)|dx = sin(x-\pi \lfloor\frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor) + 2 \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor, x \in \mathbb{R}$

↑ vanok: upozornil na to, že primitivních funkcí k $|cosx|$ je nekonečně mnoho, protože správně je $\int |cos(x)|dx = sin(x-\pi \lfloor\frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor) + 2 \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor +C, \;\;\;\;C,x \in \mathbb{R}$

tedy, že je to každá taková funkce posunutá o libovolnou reálnou konstantu C ve směru osy y.

Pokud zkopíruješ do wolframu LaTeXový kód:

sin(x-\pi \lfloor\frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor) + 2 \lfloor \frac{x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \rfloor

tak by ti to mělo vykreslit spojitou funkci.

jarrro · 29. 06. 2016 22:33

↑ vanok:ahoj. Ak treba spojitosť?
Spojitá musí byť ak má byť primitívna teda tie $c_k,c^{\prime}_k$ až tak ľubovoľné byť nemôžu
Či mi niečo uniká?

vanok · 29. 06. 2016 23:12 — Editoval vanok (29. 06. 2016 23:38)

Ahoj ↑ jarrro:,
Upresnim v mojej poznamke, to co som chcel presne vyjadrit.
Dufam, ze teraz je to lepsie napisane.
Dakujem za upozornenie.

jarrro · 30. 06. 2016 10:07

↑ vanok:veď je to spojitá funkcia musí mať primitívnu stačí keď v tvojom značení
$c_k=c\nl c^{\prime}_k=2+c$

vanok · 30. 06. 2016 10:54

↑ jarrro:
Dakujem, upresnil som to v povodnej poznamke.

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2016 19:55 — Editoval dvorli (27. 06. 2016 21:35)

Graf primitivní funkce

#2 27. 06. 2016 20:09

Re: Graf primitivní funkce

#3 27. 06. 2016 21:34

Re: Graf primitivní funkce

#4 27. 06. 2016 22:11

Re: Graf primitivní funkce

#5 27. 06. 2016 22:15

Re: Graf primitivní funkce

#6 27. 06. 2016 22:46 — Editoval Pritt (27. 06. 2016 23:15)

Re: Graf primitivní funkce

#7 27. 06. 2016 23:54 Příspěvek uživatele dvorli byl skryt uživatelem dvorli.

#8 29. 06. 2016 16:32

Re: Graf primitivní funkce

#9 29. 06. 2016 16:55 — Editoval vanok (30. 06. 2016 11:10)

Re: Graf primitivní funkce

#10 29. 06. 2016 17:02

Re: Graf primitivní funkce

#11 29. 06. 2016 17:10 — Editoval Pritt (29. 06. 2016 17:11)

Re: Graf primitivní funkce

#12 29. 06. 2016 22:33

Re: Graf primitivní funkce

#13 29. 06. 2016 23:12 — Editoval vanok (29. 06. 2016 23:38)

Re: Graf primitivní funkce

#14 30. 06. 2016 10:07

Re: Graf primitivní funkce

#15 30. 06. 2016 10:54

Re: Graf primitivní funkce

Zápatí