Matematické Fórum

Elisa · 28. 10. 2016 22:39

Dobrý den, jak se prosím vypočítají tyto dvě limity?
Moc děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-10/87147_1232.PNG

Al1 · 28. 10. 2016 23:19

↑ Elisa:

Zdravím,

na první můžeš uplatnit LH.

jarrro · 29. 10. 2016 00:03

$\lim_{x\to1}{\frac{\sin{$\pi x^{\alpha}$}}{\sin{$\pi x^{\beta}$}}}=\lim_{x\to 1}{\frac{\sin{$\pi x^{\alpha}-\pi$}}{\sin{$\pi x^{\beta}-\pi$}}}=\lim_{x\to 1}{\frac{\ \frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\ }{\ \frac{x^{\beta}-1}{x-1}\ }}$
$\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[m]{x+1}-\sqrt[n]{x+1}}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[m]{x+1}-1+1-\sqrt[n]{x+1}}{x}}$

Elisa · 29. 10. 2016 08:27

↑ jarrro:
Děkuji a co se tam prosím dělá za úpravy.

↑ Al1:
LH jsem se ještě neučili a používat ho nemáme.

Al1 · 29. 10. 2016 09:10 — Editoval Al1 (29. 10. 2016 09:16)

↑ Elisa:

Dobře, bez LH.

Na $\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[m]{x+1}-\sqrt[n]{x+1}}{x}}$ krokem-1+1 můžeš rozdělit na
$\lim_{x\to0}\bigg(\frac{\sqrt[m]{x+1}-1}{x}+\frac{1-\sqrt[n]{x+1}}{x}\bigg)$

Zlomek $\frac{\sqrt[m]{x+1}-1}{x}$ teď můžeš rozšířit. Při rozšíření využíváš vztah $a^{n}-1=(a-1)\cdot (a^{n-1}+a^{n-2}+\ldots a+1)$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 29. 10. 2016 09:48 — Editoval vanok (29. 10. 2016 10:48)

↑ Al1:,
Pozdravujem, alebo este ten zapis ( ale to asi myslel aj ↑ jarrro:) je zapis derivacie funkcie $x \to \sqrt[m]{x+1}$ v bode 0.

Al1 · 29. 10. 2016 10:34 — Editoval Al1 (29. 10. 2016 10:35)

↑ vanok:

Zdravím,

to již Elise radí v příspěvku #8 kolega ↑ Rumburak:

vanok · 29. 10. 2016 10:54

Ahoj, to som si nevsimol, ze ide o duplicitu.

jarrro · 29. 10. 2016 10:57

U sínusov sa odčítaním pí len zmení znamienko teda ten podiel sa nezmení vôbec, ale argumenty potom idú k nule teda možno využiť, že
$\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{$t$}}{t}}=1$
celé sa to potom zredukuje na výpočet
$\lim_{x\to1}{\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}}=\lim_{t\to0}{\frac{$t+1$^{\alpha}-1}{t}}=\lim_{t\to0}{$\frac{\mathrm{e}^{\alpha\ln{\(t+1$}}-1}{\alpha\ln{$t+1$}}\cdot\frac{\alpha\ln{$t+1$}}{t}\)}=1\cdot\alpha=\alpha$

Elisa · 01. 11. 2016 16:25

Mohla bych poprosit o rozepsání, nevidím v tom $\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{$t$}}{t}}=1$ . Děkuji

vanok · 01. 11. 2016 16:39 — Editoval vanok (01. 11. 2016 16:53)

↑ Elisa:,
Tak len kusok upravy, ktora sa analogicky opakuje potom, ale mozes vyuzit toto
$\frac{\sin \pi(x^{\alpha}-1)}{\pi(x^{\alpha}-1)}$
Poznamka.
co sa tyka navodu od kolegu, keby napisal viac podrobnosti, tak by v citateli a menovateli bolo znamienko minus, v prvej rovnosti. Ale to sa zjednodusi....
ta uprava je nutna, aby sa citatel blizil k nulle ked x ide k 1... A tak aby to bolo formy sin x/x.

Elisa · 01. 11. 2016 16:53

A kde se tam prosím vezme ten jmenovatel?

vanok · 01. 11. 2016 16:54

To som pridal do poznamky.
Je to elementarne, ale trikove.

Elisa · 01. 11. 2016 17:00

Jak pak z toho dostanu $\lim_{x\to1}{\frac{\sin{$\pi x^{\alpha}$}}{\sin{$\pi x^{\beta}$}}}=\lim_{x\to 1}{\frac{\sin{$\pi x^{\alpha}-\pi$}}{\sin{$\pi x^{\beta}-\pi$}}}=\lim_{x\to 1}{\frac{\ \frac{x^{\alpha}-1}{x-1}\ }{\ \frac{x^{\beta}-1}{x-1}\ }}$
poslední výraz?

vanok · 01. 11. 2016 17:05 — Editoval vanok (01. 11. 2016 17:10)

↑ Elisa:, ano A tam sa to moze zjednodusit ( niekto by robil z H. a vo fr napr ekvivalentami a vtedy by to bol jeden riadok na celu limitu a hotovo, no vas chcu trapit ako na majtrovstva uprav identit. ... no co povedat)

vanok · 01. 11. 2016 17:09 — Editoval vanok (01. 11. 2016 21:29)

Poznamka, ( pomoze?)

$x^{\alpha}-1=(x^{\alpha-1}+...+x+1)(x-1)$ A prva zatvorka ma $\alpha$ clenov...cize limitu $\alpha$ .
Édit. Toto plati len pre $\alpha \in \{1;2;3; ...\}$ ako poznamenal kolega Pavel

Elisa · 01. 11. 2016 20:26

A jak tam pak prosím udělám, aby šla limita k nule místo k jedničce?

Al1 · 01. 11. 2016 20:44 — Editoval Al1 (01. 11. 2016 21:08)

↑ Elisa:

použij radu ↑ vanok:: Edit: tento postup není správný, jak radí kolega ↑ Pavel:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Elisa · 01. 11. 2016 20:56 — Editoval Elisa (01. 11. 2016 20:57)

Děkuji a jaký význam tam má x-1? Nestačí, když zlomek $\lim_{x\to 1}\frac{\sin \pi (x^{\alpha }-1)}{\sin \pi (x^{\beta }-1)}$ rozšířím $\frac{\frac{x^{\alpha }-1}{\pi (x^{\alpha }-1)}}{\frac{x^{\beta }-1}{\pi (x^{\beta }-1)}}$ ?

Pavel · 01. 11. 2016 21:04

↑ vanok:, ↑ Al1:

Vaše postupy nejsou v pořádku. Čísla $\alpha,\beta$ jsou v zadání limity brána jako reálná. Rozklad $x^{\alpha}-1=(x^{\alpha-1}+...+x+1)(x-1)$ má smysl pouze pro přirozené $\alpha$ .

Správný je postup, který uvádí ↑ jarrro:.

Al1 · 01. 11. 2016 21:05 — Editoval Al1 (01. 11. 2016 21:15)

↑ Elisa:

po rozšíření a úpravách dostaneš

$\lim_{x\to 1}\frac{\sin \pi (x^{\alpha }-1)}{\sin \pi (x^{\beta }-1)}=\lim_{x\to1}\frac{\sin \pi (x^{\alpha }-1)}{\pi (x^{\alpha }-1) }\cdot \frac{\pi (x^{\beta }-1)}{\sin \pi (x^{\beta }-1)}\cdot \frac{\pi (x^{\alpha }-1)}{\pi (x^{\beta }-1)}=\nl =1\cdot 1\cdot \lim_{x\to 1}\frac{ (x^{\alpha }-1)}{ (x^{\beta}-1)}$

A nyní použiješ úpravy s využitím rady ↑ jarrro:

$\lim_{x\to1}{\frac{x^{\alpha}-1}{x-1}}=\lim_{t\to0}{\frac{$t+1$^{\alpha}-1}{t}}=\lim_{t\to0}{$\frac{\mathrm{e}^{\alpha\ln{\(t+1$}}-1}{\alpha\ln{$t+1$}}\cdot\frac{\alpha\ln{$t+1$}}{t}\)}=1\cdot\alpha=\alpha$
a podobně pro $\lim_{x\to1}{\frac{x^{\beta}-1}{x-1}}$

Elisa · 01. 11. 2016 21:14

↑ Al1:
A kdyby tam toto nebylo?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/31266_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Al1 · 01. 11. 2016 21:15

↑ Pavel:

Děkuji za upozornění na chybu.

Al1 · 01. 11. 2016 21:16

↑ Elisa:

podívej se ještě jednou na příspěvek #20 a #21

Elisa · 01. 11. 2016 21:36

Děkuji a tahle úprava prosím?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-11/32555_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2016 22:39

limity

#2 28. 10. 2016 23:19

Re: limity

#3 29. 10. 2016 00:03

Re: limity

#4 29. 10. 2016 08:27

Re: limity

#5 29. 10. 2016 09:10 — Editoval Al1 (29. 10. 2016 09:16)

Re: limity

#6 29. 10. 2016 09:48 — Editoval vanok (29. 10. 2016 10:48)

Re: limity

#7 29. 10. 2016 10:34 — Editoval Al1 (29. 10. 2016 10:35)

Re: limity

#8 29. 10. 2016 10:54

Re: limity

#9 29. 10. 2016 10:57

Re: limity

#10 01. 11. 2016 16:25

Re: limity

#11 01. 11. 2016 16:39 — Editoval vanok (01. 11. 2016 16:53)

Re: limity

#12 01. 11. 2016 16:53

Re: limity

#13 01. 11. 2016 16:54

Re: limity

#14 01. 11. 2016 17:00

Re: limity

#15 01. 11. 2016 17:05 — Editoval vanok (01. 11. 2016 17:10)

Re: limity

#16 01. 11. 2016 17:09 — Editoval vanok (01. 11. 2016 21:29)

Re: limity

#17 01. 11. 2016 20:26

Re: limity

#18 01. 11. 2016 20:44 — Editoval Al1 (01. 11. 2016 21:08)

Re: limity

#19 01. 11. 2016 20:56 — Editoval Elisa (01. 11. 2016 20:57)

Re: limity

#20 01. 11. 2016 21:04

Re: limity

#21 01. 11. 2016 21:05 — Editoval Al1 (01. 11. 2016 21:15)

Re: limity

#22 01. 11. 2016 21:14

Re: limity

#23 01. 11. 2016 21:15

Re: limity

#24 01. 11. 2016 21:16

Re: limity

#25 01. 11. 2016 21:36

Re: limity

Zápatí