Matematické Fórum

Michal25 · 03. 11. 2016 23:53

Prosím o pomoc so všeobecným riešením. Na webe sú tisíce príkladov na šikmý vrh, ale som nikde nenašiel
riešenie na toto. Všade sa počíta len maximálna výška a vzdialenosť dopadu.

Pod uhlom 60 stupňov rýchlosťou v0 je vrhnutý kameň o hmotnosti m. Aká je jeho okamžitá rýchlosť v1 v momente, keď táto rýchlosť s vodorovnou plochou zviera 25 stupňov a aký je polomer krivosti v tomto bode?
Myslím tým miesto ešte pred dosiahnutím vrcholu paraboly.

Ďakujem.

Anonymystik

Zaveďme standardní souřadnicový systém Oxy. Při šikmém vrhu působí na objekt pouze tíhové zrychlení $\vec{a} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = (0, -g)$ . Integrací podle času se získá rovnice pro rychlost v čase t: $\vec{v} (t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{a}t + \vec{v_0}$ . Rovnici si napišme ve složkách:
$(v_x(t), v_y(t) ) = (v_0 \cdot \cos 60°, -gt + v_0 \cdot \sin 60°)$ .

Zadání požaduje, aby pohyb v neznámém čase byl pod úhlem 25°, tedy $(v_x(t), v_y(t) ) = (v_1 \cdot \cos 25°, v_1 \cdot \sin 25°)$ pro neznámou hodnotu parametru $v_1$ .

Srovnáním x-ové a y-ové složky rychlosti v obou vyjádřeních dostaneme soustavu rovnic (s parametrem $v_0$ ) pro neznámé hodnoty $t, v_1$ :

$v_0 \cdot \cos 60° = v_1 \cdot \cos 25°$

$-gt + v_0 \cdot \sin 60° = v_1 \cdot \sin 25°$

Vyřešením se najde hledaná hodnota $v_1$ a k ní příslušný čas $t$ .

Další integrací dostaneme rovnici pohybu $\vec{r}(t) = \vec{r_0} + \vec{v_0} t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ , kde $\vec{r_0}$ je počáteční poloha a $\vec{v_0}$ počáteční rychlost. Bez újmy na obecnosti lze vzít $\vec{r_0} = (0,0)$ . Dosazením poč. podmínek zjistíme kompletní informaci o pohybu. Dosazením t z naší soustavy rovnic získáme polohu v bodě, kdy kámen letí pod úhlem 25°. Pak se už je spočte jen poloměr křivosti trajektorie (to už je čistá geometrie).

Stačí to takhle?

Honzc · 04. 11. 2016 12:24 — Editoval Honzc (07. 11. 2016 12:18)

↑ Michal25:
1. Parametrické rovnice šikmého vrhu jsou (počátek vrhu je v počátku kss)
$x(t)=v_{0}t\cos \alpha$
$y(t)=v_{0}t\sin \alpha-\frac{1}{2}t^{2}$
2. Označme bod, ve kterém chceme počítat jako 1, rychlost v tomto bodě $v_{1}$ a úhel $\alpha _{1}$
Platí:
$\dot {x}_{1}=v_{1x},\,\dot {y}_{1}=v_{1y}$
$x^{\cdot }=v_{0}\,cos\alpha$
$y^{\cdot }=v_{0}\,\sin \alpha -gt$
$\text{tg}\alpha _{1}=\frac{v_{1y}}{v_{1x}}$
Z tohoto vztahu se spočítá $t$ a dosadí se do vztahu pro $v_{1y}$
$v_{1}=\sqrt{v_{1x}^{2}+v_{1y}^{2}}$
3. Pro poloměr křivosti platí:
$r=\frac{\sqrt{( (x^{ \cdot })^{2}+ (y^{\cdot })^{2})^{3}}}{|x^{ \cdot }y^{\cdot \cdot }-x^{\cdot \cdot }y^{ \cdot }|}$
kde $x^{\cdot }=v_{0}\,cos\alpha ,\,x^{\cdot \cdot }=0$
$y^{\cdot }=v_{0}\,\sin \alpha -gt,\,y^{\cdot \cdot }=-g$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Michal25 · 04. 11. 2016 17:01

Ďakujem všetkým za odpovede, vyššiu matematiku veľmi neovládam, ale skúsim to zrátať. Hmotnosť kameňa podľa všetkého nehrá rolu. Tá podmienka rovnania x.y-ovej zložky v0 a v1 mi pomohla, z toho sa už dá vypočítať v1 na túto podmienku som nevedel prísť.

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2016 23:53

Šikmý vrh

#2 04. 11. 2016 11:42 — Editoval Anonymystik (04. 11. 2016 11:51)

Re: Šikmý vrh

#3 04. 11. 2016 12:24 — Editoval Honzc (07. 11. 2016 12:18)

Re: Šikmý vrh

#4 04. 11. 2016 17:01

Re: Šikmý vrh

Zápatí