Matematické Fórum

Elisa · 07. 01. 2017 22:54

Dobrý den, proč tady prosím není x-1? Děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/26030_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

misaH · 07. 01. 2017 23:04

↑ Elisa:

Zderivovala si to?

vanok · 07. 01. 2017 23:13

Ahoj ↑ Elisa:.
To je uplne mechanicke. Ked rozlozis tvoju racionalnu funkciu jej rozklad dostanes v danej forme.

Elisa · 07. 01. 2017 23:25

Rozložila jsem to na parciální zlomky a = 5, b=8, ale ten první zlomek má ve jmenovateli x-1. Nevím, jak dostat 1-x?

Eratosthenes · 07. 01. 2017 23:36

↑ Elisa:

1-x = -(x-1) :-)

Elisa · 08. 01. 2017 08:23

A proč se to musí udělat, co je špatně na tomhle?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-01/60203_IMG_20170108_082055.jpg

vanok · 08. 01. 2017 08:41 — Editoval vanok (08. 01. 2017 08:52)

Ahoj ↑ Elisa:,
Tvoj vysledok je v kazdom pripade dobry, a plati na kazdom intervale ( z troch moznych)... kde je mozna integracia....
Ten co je vyssie je platny len na interval kde 1-x>0 a zaroven 2-x>0, cize ak x je 1>x ( log musi byt definovany)

Cize normalne treba v kazdom cviceni upresnit na ktorom intervaly sa pracuje,,,, ak to neni povedane tak tvoja poslednej odpoved je optimalna, lebo podla vybrateho intervalu mozes dat presnu odpoved.... bez |.|

misaH · 08. 01. 2017 09:17

A nechýba v integráloch dx?

Al1 · 08. 01. 2017 09:42

↑ Elisa:

Zdravím,

WA z nějakého důvodu definuje $\int_{}^{}\frac{1}{x}\ dx=\ln (x)+c$ WA.

Dej si na to pozor.
Jak již píše kolega ↑ vanok:, tvůj výsledek je správný.

vlado_bb · 08. 01. 2017 09:49

↑ Al1: Ahoj, WA ma v tom pripade pravdu, pretoze z pravej strany vyplyva, ze $x>0$ . Na rozdiel od vseobecne rozsirenej povery, ze $\int_{}^{}\frac{1}{x}\ dx=\ln |x|+c$ pre $x \ne 0$ , co ani zdaleka pravda nie je.

Eratosthenes

ahoj ↑ vlado_bb:,

Pověra? A není to pravda?? A to ti, probůh, řekl kdo ?????

vlado_bb · 08. 01. 2017 10:34

↑ Eratosthenes: Aka je derivacia funkcie $f(x)=\ln |x| + 1$ pre $x<0$ , $f(x)=\ln |x| +2$ pre $x>0$ ? Mne vychadza $\frac 1x$ . No a ako by si funkciu $f$ vyjadril v tvare $\ln |x| + c$ pre vsetky $x \ne 0$ ?

Eratosthenes · 08. 01. 2017 13:34

↑ vlado_bb:

No, vidím, že v tom máš trochu hokej, takže stručně (a snad jasně):

Definice:

$\forall x \in M\subset \mathbb{R}: \int f(x)dx = F(x)+C \Leftrightarrow (F(x)+C)' = f(x)$

Věta:

$x\not = 0 \Rightarrow \int \frac 1 x dx = \ln |x|+C$

Důkaz:

Musíme dokázat, že pro každé $x\not = 0$ platí $(\ln |x|+C)'=\frac 1 x$ . Takže

$x>0 \Rightarrow (\ln |x|+C)' =(\ln |x|)'=(\ln x)'=\frac 1 x$
$x<0 \Rightarrow (\ln |x|+C)' =(\ln |x|)'=(\ln (-x))'=\frac 1 {-x}\cdot (-1)=\frac 1 x$

Konec důkazu.

misaH · 08. 01. 2017 13:41

↑ Eratosthenes:

Aby si nebol prekvapený...

vanok · 08. 01. 2017 14:06

V tomto pripade ↑ vlado_bb: chce len povedat, ze ak D_f je Unia intervalov, tak na kazdom z nich mozeme dat inu konstantu co sa tyka primitivizacie. ( ↑ misaH:, vidis, ze viem citat aj pozorne:-) )

vlado_bb · 08. 01. 2017 14:38

↑ vanok: Presne tak. To je aj dovod, preco sa v mnohych textoch z matematickej analyzy zavadza pojem primitivna funkcia iba na intervale. Obrazok $\int_{}^{}\frac{1}{x}\ dx=\ln |x|+c$ teda treba chapat tak, ze takto vyzeraju primitivne funkcie na zapornej polosi a tak isto aj na kladnej. Ale nie na $R \setminus \{0\}$ , ak teda vobec uvazujeme o primitivnej funkcii na niecom, co nie je interval.

Eratosthenes · 08. 01. 2017 14:49

↑ vanok:

Ale nikde se přece neříká, že na každém subintervalu musí ta konstanta být stejná. Kdyby totiž musela, tak to by neplatilo nic.

$\int \frac 1 {cos ^2 x} dx = tg x + C$ ?

Pověra.

$\int \frac 1 {sin ^2 x} dx =-cotg x + C$ ?

Další pověra.

$\int x^n dx =\frac {x^{n+1}} {n+1} +C; n\not =-1$ ?

Pověra, pověra a zase samá pověra....

vlado_bb · 08. 01. 2017 14:58

↑ Eratosthenes: Ano, len ci to aj studenti takto chapu. Preto sa napriklad vo Veseleho knihe Matematicka analyza pro ucitele dosledne trva na tom, ze primitivna funkcia existuje na intervale. V nasom pripade teda primitivna funkcia na $(-\infty, 0)$ je $\ln |x| + c$ , na intervale $(0, \infty)$ tiez $\ln |x| + c$ . Iba drobny rozdiel. A ano, je tu aj moznost zavedenia primitivnej funkcie na zjednoteni intervalov, len potom treba pripojit poznamku, ze integracne konstanty su na tychto intervaloch vo vseobecnosti rozne.

Xellos · 08. 01. 2017 15:09 — Editoval Xellos (08. 01. 2017 15:14)

vlado_bb napsal(a):
Ano, len ci to aj studenti takto chapu.

Takze uznavas ze to co si oznacil za "poveru" je skutocne korektny vzorec, len si ho (a milion dalsich veci) niektori studenti zle vysvetluju?

vlado_bb napsal(a):
Ahoj, WA ma v tom pripade pravdu, pretoze z pravej strany vyplyva, ze $x>0$ .

No moment. Tu odovodnujes spravnost vysledku (ze pre intervaly na lavej polosi takto integral nie je definovany) pomocou jeho sameho.

vlado_bb · 08. 01. 2017 18:55

Xellos napsal(a):
Takze uznavas ze to co si oznacil za "poveru" je skutocne korektny vzorec, len si ho (a milion dalsich veci) niektori studenti zle vysvetluju?

Podla mojich skusenosti si ho zle vysvetluje vyrazna vacsina studentov. Skuste sa niekedy opytat studentov, na akej mnozine je mnozina vsetkych primitivnych funkcii k $\frac 1x$ mnozina pozostavajuca z funkcii $\ln |x| + C$ , kde $C \in R$ . Myslim, ze az na vynimky dostanete odpoved, ze na $R \setminus \{0\}$ .

Napriklad aj na https://proofwiki.org/wiki/Definition:Primitive_(Calculus) sa zavadza primitivna funkcia iba na intervale. Je mi jasne, ze je mozny aj iny pristup, ako uviedol napriklad Eratosthenes, co pochopitelne akceptujem (vsimnite si, nenapadam jeho zastancov, netvrdim, ze v tom maju hokej, ani nic podobne). Da sa to urobit lubovolnym sposobom, dolezite je, aby bolo zrejme, co je mnozinou VSETKYCH primitivnych funkcii (a nie iba niektorych).

Xellos napsal(a):
No moment. Tu odovodnujes spravnost vysledku (ze pre intervaly na lavej polosi takto integral nie je definovany) pomocou jeho sameho.

Nie, iba som poznamenal, ze ak v nejakej rovnosti vystupuje $\ln x$ , tak zrejme o jej platnosti ci neplatnosti pre zaporne $x$ netreba uvazovat.

misaH · 08. 01. 2017 18:58

↑ vlado_bb:

:-)

Eratosthenes · 08. 01. 2017 19:11

↑ vlado_bb:

ať tak či onak, výstup WA je špatně, protože říká, že na <2;infty> není integrál definován, což určitě není pravda.

vlado_bb · 08. 01. 2017 19:24

↑ Eratosthenes: S tym pochopiteľne súhlasím.

Matematické Fórum

#1 07. 01. 2017 22:54

integrál

#2 07. 01. 2017 23:04

Re: integrál

#3 07. 01. 2017 23:13

Re: integrál

#4 07. 01. 2017 23:25

Re: integrál

#5 07. 01. 2017 23:36

Re: integrál

#6 08. 01. 2017 08:23

Re: integrál

#7 08. 01. 2017 08:41 — Editoval vanok (08. 01. 2017 08:52)

Re: integrál

#8 08. 01. 2017 09:17

Re: integrál

#9 08. 01. 2017 09:42

Re: integrál

#10 08. 01. 2017 09:49

Re: integrál

#11 08. 01. 2017 09:56 — Editoval Eratosthenes (08. 01. 2017 09:57)

Re: integrál

#12 08. 01. 2017 10:34

Re: integrál

#13 08. 01. 2017 13:34

Re: integrál

#14 08. 01. 2017 13:41

Re: integrál

#15 08. 01. 2017 14:06

Re: integrál

#16 08. 01. 2017 14:38

Re: integrál

#17 08. 01. 2017 14:49

Re: integrál

#18 08. 01. 2017 14:58

Re: integrál

#19 08. 01. 2017 15:09 — Editoval Xellos (08. 01. 2017 15:14)

Re: integrál

vlado_bb napsal(a):

vlado_bb napsal(a):

#20 08. 01. 2017 18:55

Re: integrál

Xellos napsal(a):

Xellos napsal(a):

#21 08. 01. 2017 18:58

Re: integrál

#22 08. 01. 2017 19:11

Re: integrál

#23 08. 01. 2017 19:24

Re: integrál

Zápatí