Matematické Fórum

Hašiš · 28. 04. 2017 14:24

Zdravím.
Potřeboval bych pomoci s tímto problémem.

Kulička s hmotností m je umístěna na počátek dráhy $y(x)$ (například $y(x)=-x^{2}+4$ ). Počátek dráhy je v bodě $y(0)$ , počáteční rychlost kuličky je nulová a je uvedena do pohybu nekonečně malým impulsem. V jakém čase se dostane do bodu $y(2)$ , zanedbáme-li tření, odpor vzduchu apod.

Zkoušel jsem na to jít přes zákon o zachování energie a spočítal si, velikost rychlosti v bodě 2. Dále jsem zkoušel určit okamžité zrychlení pomocí tíhového zrychlení a úhlu alfa, který okamžité zrychlení svírá s osou x, neboť alfa je funkcí $arctan(\frac{d}{dy}y(x))$ . Ale nikam jsem s tím nedošel.

Děkuji.

KennyMcCormick

EDIT: Schoval jsem chybnou odpověď, přidávám doufejme správnou.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

(Doufejme) správná odpověď:
Zjistíme poloměr oskulační kružnice:

1. derivace funkce je
$f'(x)=-2x$ .

2. derivace funkce je
$f''(x)=-2$ .

V bodě $[x,y]$ je poloměr kružnice
$r=\frac{(1+(f'(x))^2)^{\frac32}}{|f''(x)|}=\frac{(1+4x^2)^\frac32}{2}$ .

Velikost rychlosti v bodě $[x,y]$ je
$v=\sqrt{2g(4-y)}=\sqrt{2gx^2}$ .

$F_r=mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r$

$\vec{F_r}=\left(\cos(90°-\alpha)\left(mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r\right),\sin(90°-\alpha)\left(mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r\right)\right)$ , tj.
$\vec{F_r}=\left(\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r,\cos^2\alpha mg-\cos\alpha\frac{mv^2}r\right)$

x-ová složka výslednice sil je
$F_x=\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r+0=\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r=\nl =\frac{2x}{4x^2+1}mg-\frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}\cdot\frac{m\cdot2gx^2}{\frac{(1+4x^2)^\frac32}{2}}=\frac{2x}{(4x^2+1)^2}mg$ .

x-ová složka zrychlení tedy je
$a_x=\frac{2x}{(4x^2+1)^2}g$ .

medvidek · 04. 05. 2017 16:23

↑ Hašiš:
Zadání úlohy je problematické, protože na velikosti "nekonečně malého" počátečního impulsu záleží, a to významně.

Do bodu $y(2)$ se kulička může dostat za libovolně dlouhou dobu, anebo také nikdy - právě podle velikosti impulsu, popřípadě podle velikosti počáteční výchylky. Lze akorát dostatečně přesně spočítat rychlost kuličky v daném bodě. Na to ale stačí energetická úvaha.

↑ KennyMcCormick:
Napadlo mě, že se odvození DR zkomplikuje tím, že $F_r$ závisí také na rychlosti kuličky. Nebo se mýlím?

KennyMcCormick · 04. 05. 2017 17:46

Do bodu $y(2)$ se kulička může dostat za libovolně dlouhou dobu, anebo také nikdy

Takže kdybych začínal z koncové polohy a vyslal kuličku nahoru se správnou rychlostí, zastaví se v rovnovážné poloze po nekonečném čase, je to tak?

Napadlo mě, že se odvození DR zkomplikuje tím, že $F_r$ závisí také na rychlosti kuličky.

Kvůli dostředivé síle?

medvidek · 04. 05. 2017 18:07

↑ KennyMcCormick:
Ano.
Ano.

Před pěti lety zde byla podobná úloha. Jednalo se o matematické kyvadlo začínající pohyb v horní poloze.
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 75#p297975

Řešení je na konci tématu, zde to bude v aproximaci asi podobné, zejména výpočet pro dlouhé doby, kdy většina času uběhne, než se ta kulička vůbec trochu vzdálí od rovnovážné polohy.

KennyMcCormick · 04. 05. 2017 20:38

Bude složka tíhové síly, která se podílí na vzniku $\vec{F}_r$ , součástí dostředivé síly?

medvidek · 05. 05. 2017 05:00

↑ KennyMcCormick:
Tomu moc nerozumím, jak to myslíš. Zda bude ve vyjádření $\vec{F}_r$ figurovat $mg$ ?

Já bych to celé počítal tak, že nejdřív bych z energetické bilance odvodil $v=v(y)$ , tj. závislost absolutní hodnoty rychlosti na svislé souřadnici. Za další bych odvodil $s=s(y)$ , tj. závislost délky trajektorie na svislé souřadnici (spočítat délku křivky integrálem). Pak lze z $v(y)$ a $s(y)$ snadno vyloučit $y$ a dostaneme dif. rovnici, která již nebude moc hezká.

I v tomto případě ale lze provést aproximaci pro malé vzdálenosti od rovnovážné polohy. Délku $s(y)$ oblouku paraboly lze v okolí vrcholu dobře aproximovat délkou jeho průmětu na osu $x$ . Tím se to celé náramně zjednoduší a mělo by vyjít něco jako
$s(t)=A e^{\sqrt{2g}t}$ ,
$v(t)=\sqrt{2g}A e^{\sqrt{2g}t}$ .
Zde už je mimochodem vidět, že počáteční podmínka nemůže být nulová, pokud chceme dostat netriviální řešení. Anebo jinak, ke každému libovolnému času $t$ lze najít takovou počáteční podmínku, aby kulička v tomto čase nesjela až dolů.

KennyMcCormick

Tomu moc nerozumím, jak to myslíš. Zda bude ve vyjádření $\vec{F}_r$ figurovat $mg$ ?

Myslel jsem to tak, jestli bude normálová složka tíhové síly součástí dostředivé síly, tj. jestli
$\overrightarrow{\text{dostředivá síla}}=\overrightarrow{\text{normálová složka tíhové síly}}+\overrightarrow{\text{něco}}$ .

Děkuju za rady k řešení, zítra se na to podívám. :)

Z čeho v tomhle případě pochází, na mikroskopické úrovni, ta dostředivá síla?

EDIT: Otázky v tomhle komentáři můžeš ignorovat, myslím, že je mi to už jasné.

KennyMcCormick

Pokud bych měl kopec ve tvaru paraboly (a ne např. rouru ve tvaru paraboly, která by vynucovala dráhu kuličky přesně dráhu ve tvaru paraboly), kulička by odletěla od paraboly v kladném směru osy x v okamžiku, kdy by o̶d̶s̶t̶ř̶e̶d̶i̶v̶á̶ ̶s̶í̶l̶a̶ ̶u̶ž̶ ̶n̶e̶b̶y̶l̶a̶ ̶d̶o̶s̶t̶a̶t̶e̶č̶n̶ě̶ ̶k̶o̶m̶p̶e̶n̶z̶o̶v̶a̶n̶á̶ ̶n̶o̶r̶m̶á̶l̶o̶v̶o̶u̶ ̶s̶l̶o̶ž̶k̶o̶u̶ ̶t̶í̶h̶o̶v̶é̶ ̶s̶í̶l̶y̶ normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle.

Je to tak?

EDIT: "odstředivá síla" -> "reakce paraboly na sílu $\frac{mv^2}r$ "

EDIT: "reakce paraboly na sílu $\frac{mv^2}r$ " -> "normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle"

medvidek · 06. 05. 2017 05:58

K příspěvku #10.
Zajímavá otázka. Bylo by užitečné pokusit se o nějakou analýzu. Asi záleží na počátečních podmínkách. Domnívám se, že pokud bychom kuličku na začátku příliš neurychlili, nikdy by se od parabolického kopce neodlepila. V průběhu sjíždění by tlak na dráhu asymptoticky klesal k nule. Později by kulička v podstatě volně padala podél paraboly. To je ovšem jen můj první pohled na věc, mohu se mýlit.

medvidek · 06. 05. 2017 07:56

K dostředivé síle.
Prošel jsem tvé dřívější zápisy. Nesedí mi tam, že $\vec{F}_r$ nejdřív uvádíš jako "sílu, kterou parabola působí na kuličku", zatímco později je $F_r=F_G\cos\alpha$ , což je normálová složka tíhové síly. $F_r$ jsi dále využíval k výpočtu, proto z toho vyplynula moje obava o komplikaci řešení díky chybějící dostředivé síle.

Řekl bych, že to má být takto:
$\overrightarrow{\text{výsledná normálová (dostředivá) síla}}=\overrightarrow{\text{normálová složka tíhové síly}}+\overrightarrow{\text{reakce podložky}}$ ,
(reakce dokonale kluzké podložky je samozřejmě také normálová).

Ale normálové síly nás nemusí zajímat (pokud není dána možnost odlepení kuličky od paraboly). Je tedy třeba vzít tečnou složku tíhové síly $F_T$ , a tu pak rozložit na vodorovnou a svislou komponentu.

$F_T=F_G \sin \alpha$ => $F_{T_x}= ...$

Takto dojdeme ke stejnému vyjádření $a_x$ , jak jsi odvodil ty:
$a_x=\frac{2x}{4x^2+1}g$ .

Co tomu říkáš?
:-)

KennyMcCormick

Díky. :) Předtím, než budu psát něco dalšího: Souhlasíš, že můj výsledek ( $a_x$ ) je správně, ale můj postup by měl být jiný. Chápu tě správně?

EDIT: K tomu si navíc myslím, že jsem tady: ↑ KennyMcCormick: použil termín "odstředivá síla" v chybném významu - měl jsem napsat "reakce paraboly na sílu $\frac{mv^2}r$ ". Opravím to.

EDIT: Ne, měl jsem tam napsat "normálová složka tíhové síly už nebyla větší nebo rovna dostředivé síle". Znovu opraveno...

medvidek · 08. 05. 2017 22:28

↑ KennyMcCormick:
Ano, tak jsem to myslel. Ale to "ax" nam vyslo stejne a snad spravne :)

Na terminologii odstrediva/dostrediva nejsem haklivy, hlavne kdyz se vi, o co jde.

Mel jsem (jeste mam) omezene spojeni, zitra to bude lepsi.

KennyMcCormick

Díky za odpovědi. :) Takže v mém prvním komentáři je potřeba provést 2 změny:

1. $\vec{F}_r$ není $-\vec{F}_N$ , kde $\vec{F}_N$ je normálová složka tíhové síly, ale platí
$\vec{F}_r=-\vec{F}_N+\vec{F}_{\text{dostředivá}}$

2. Síla, která způsobuje pohyb koule v tečném směru, není výslednice sil, ale tečná složka výslednice sil.

Je to tak?

medvidek · 10. 05. 2017 23:49

Souhlasím. Jen bych ve druhém tvrzení místo "pohyb" použil raději "zrychlení", ale určitě jsi to myslel správně.

Přidávám obrázek pro přehlednost:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-05/49189_PohybPoParabole.jpg
$F_G$ - tíhová síla
$F_T$ - tangenciální komponenta síly (způsobující změny velikosti rychlosti hmot. bodu
$F_N$ - normálová komponenta tíhové síly
$F_d$ - dostředivá síla (způsobující změny směru pohybu hmot. bodu)
$F_R$ - síla reakce podložky (neboli tlak paraboly na hmotný bod)
$F$ - celková síla určující pohyb hmot. bodu

Platí:
$\vec{F}_G=\vec{F}_T+\vec{F}_N$ , tj. rozklad tíhové síly do komponent N a T
$\vec{F}_d=\vec{F}_N+\vec{F}_R$ , tj, pokud Fd=Fn, bude tlak na podložku nulový
$\vec{F}=\vec{F}_T+\vec{F}_d$ , tj. rozklad výsledné síly na komponenty určující velikost a směr rychlosti
$\vec{F}=\vec{F}_G+\vec{F}_R$ , to jsou jediné dvě "originální" síly působící na hmotný bod, které určují jeho pohyb

Obrázek je vždy užitečný :)
Například teď už si nemyslím, že máme správně vypočteno to $a_x$ , protože
$\vec{F}=\vec{F}_x+\vec{F}_y=m$\vec{a}_x+\vec{a}_y$$ .
Postup naznačený v příspěvku #7 by ovšem měl být ok.

KennyMcCormick

Jen bych ve druhém tvrzení místo "pohyb" použil raději "zrychlení", ale určitě jsi to myslel správně.

Ano, tak jsem to myslel. :)

Takže v případě, že se těleso pohybuje po zakřivené dráze, rovnice

$\vec{F}=\vec{F}_x+\vec{F}_y=m$\vec{a}_x+\vec{a}_y$$

není

$\vec{F_{\color{red}{T}}}=\vec{F}_{{\color{red}{T}}_x}+\vec{F}_{{\color{red}{T}}_y}=m$\vec{a}_x+\vec{a}_y$$

, protože výslednice sil nemíří v tečném směru.

Je to tak?

EDIT: Tzn. stačí jediná úprava v mém prvním příspěvku:

1. $\vec{F}_r$ není $-\vec{F}_N$ , kde $\vec{F}_N$ je normálová složka tíhové síly, ale platí
$\vec{F}_r=-\vec{F}_N+\vec{F}_{\text{dostředivá}}$

.
(+ přepočítat zbytek výpočtu)

medvidek · 11. 05. 2017 20:55

↑ KennyMcCormick:
Ano, výslednice míří poněkud jinam, víc ke středu křivosti dráhy.

Udělal jsem výpočet přes délku křivky (paraboly). Až si najdu čas, dám ho sem. O přepočet $a_x$ jsem se zatím nesnažil.

KennyMcCormick · 11. 05. 2017 21:45

OK... to můžu přepočítat já, jenom jsem se chtěl ujistit, že to přepočítávám správným způsobem, než začnu.

KennyMcCormick

Zjistíme poloměr oskulační kružnice:

1. derivace funkce je
$f'(x)=-2x$ .

2. derivace funkce je
$f''(x)=-2$ .

V bodě $[x,y]$ je poloměr kružnice
$r=\frac{(1+(f'(x))^2)^{\frac32}}{|f''(x)|}=\frac{(1+4x^2)^\frac32}{2}$ .

Velikost rychlosti v bodě $[x,y]$ je
$v=\sqrt{2g(4-y)}=\sqrt{2gx^2}$ .

$F_r=mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r$

$\vec{F_r}=\left(\cos(90°-\alpha)\left(mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r\right),\sin(90°-\alpha)\left(mg\cos\alpha-\frac{mv^2}r\right)\right)$ , tj.
$\vec{F_r}=\left(\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r,\cos^2\alpha mg-\cos\alpha\frac{mv^2}r\right)$

x-ová složka výslednice sil je
$F_x=\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r+0=\frac12\sin(2\alpha)mg-\sin\alpha\frac{mv^2}r=\nl =\frac{2x}{4x^2+1}mg-\frac{2x}{\sqrt{4x^2+1}}\cdot\frac{m\cdot2gx^2}{\frac{(1+4x^2)^\frac32}{2}}=\frac{2x}{(4x^2+1)^2}mg$ .

x-ová složka zrychlení tedy je
$a_x=\frac{2x}{(4x^2+1)^2}g$ .

To by už mohlo být správně? :)

EDIT: Přidal jsem tuhle odpověď do svého prvního příspěvku.

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2017 14:24

Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#2 30. 04. 2017 17:57 — Editoval KennyMcCormick (17. 05. 2017 00:57)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#3 04. 05. 2017 16:23

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#4 04. 05. 2017 17:46

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#5 04. 05. 2017 18:07

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#6 04. 05. 2017 20:38

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#7 05. 05. 2017 05:00

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#8 05. 05. 2017 20:36 — Editoval KennyMcCormick (06. 05. 2017 01:29)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#9 05. 05. 2017 21:45 — Editoval KennyMcCormick (06. 05. 2017 00:39) Příspěvek uživatele KennyMcCormick byl skryt uživatelem KennyMcCormick. Důvod: Omyl...

#10 06. 05. 2017 01:21 — Editoval KennyMcCormick (10. 05. 2017 03:45)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#11 06. 05. 2017 05:58

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#12 06. 05. 2017 07:56

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#13 06. 05. 2017 20:57 — Editoval KennyMcCormick (10. 05. 2017 03:46)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#14 08. 05. 2017 22:28

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#15 10. 05. 2017 04:04 — Editoval KennyMcCormick (10. 05. 2017 04:20)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#16 10. 05. 2017 23:49

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#17 11. 05. 2017 20:01 — Editoval KennyMcCormick (11. 05. 2017 20:42)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#18 11. 05. 2017 20:55

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#19 11. 05. 2017 21:45

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

#20 14. 05. 2017 07:51 — Editoval KennyMcCormick (17. 05. 2017 00:58)

Re: Nerovnoměrně zrychlený křivočarý pohyb - výpočet času v bodě

Zápatí