Matematické Fórum

ViliX · 12. 11. 2017 20:25 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 20:30)

V ukázkové písemce je tento příklad:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2017-11/14226_Screenshot%2Bfrom%2B2017-11-12%2B20-16-55.png
K dispozici mám dva vzorce:
$E[X] = \sum_\pi p(\pi) \cdot X[\pi]$
$E[X] = \sum_{h \in H(X)} h \cdot P[X = h]$

U toho prvního je snadné vypočítat $p(\pi) = \frac{1}{n}$ , ale je problém, že ta suma má $n!$ členů a náhodná veličina $X$ se špatně počítá. U druhého naopak víme počet členů sumy $( n-1)$ , tedy i $h$ , ale je třeba spočítat pravděpodobnost, že náhodná permutace $\pi$ má právě $h$ prvků dobrých.

Pokud si zvolím ten druhý vzorec, tak tedy:
$E[X] = \sum_{h = 1}^{n-1} h \cdot P[X = h]$ , přičemž $P[X = h]$ je pravděpodobnost, že náhodná permutace bude mít právě $h$ prvků dobrých, což nevím jak na to.

Poznámka:
Napsal jsem si skript, který hrubou silou počítá výsledek pro pár malých $n$ . Výsledek je (z odhadu) $\frac{n-1}{n}$ , což by dávalo smysl, když v limitě se bude rovnat $1$ .

Stýv · 12. 11. 2017 20:37

Doporučuju využít faktu, že $X=\sum_kI_{\pi(k)=k+1}$ .

ViliX · 12. 11. 2017 20:48 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 20:52)

↑ Stýv: Nejsem si jistý, kam s těmi indikátory míříš. Pro druhý vzorec nevím kam by se to napasovalo a u toho prvního:
$E[X] = \frac{1}{n} \sum_\pi \sum_k I_{\pi(k) = k+1}$

Stýv · 12. 11. 2017 21:21

$EX=\sum_kEI_{\pi(k)=k+1}$ Střední hodnota indikátoru se počítá velice snadno.

ViliX · 12. 11. 2017 21:34 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 21:39)

↑ Stýv:
$E[X] = \sum_k \sum_\pi p(\pi) \cdot I(\pi) = \sum_kP[\pi(k) = k+1]$ Stále se nechytám..

Stýv · 12. 11. 2017 21:54

Kolik je $P[\pi(k) = k+1]$ ?

ViliX · 12. 11. 2017 22:01 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 22:01)

↑ Stýv:
Samozřejmě, ztratil jsem se v těch symbolech. $P[\pi(k) = k+1] = \frac{1}{n}$ , tedy $E[X] = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$ , děkuji! rep++

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2017 20:25 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 20:30)

Střední hodnota s permutacemi

#2 12. 11. 2017 20:37

Re: Střední hodnota s permutacemi

#3 12. 11. 2017 20:48 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 20:52)

Re: Střední hodnota s permutacemi

#4 12. 11. 2017 21:21

Re: Střední hodnota s permutacemi

#5 12. 11. 2017 21:34 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 21:39)

Re: Střední hodnota s permutacemi

#6 12. 11. 2017 21:54

Re: Střední hodnota s permutacemi

#7 12. 11. 2017 22:01 — Editoval ViliX (12. 11. 2017 22:01)

Re: Střední hodnota s permutacemi

Zápatí