Matematické Fórum

Peter_CSR

Ahoj,

v probléme

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-05/79362_Pet_me_28-12-2011%2B%25E2%2580%2593%2Bk%25C3%25B3pia.jpg

najrýchlejšie riešenie bude zakresliť si graf a pozrieť na klúčové body (0, pí/2,...)

uvažujem ako by som rovnicu upravil.

...nejak ma nenapadá... nejaké doporučenie?

laszky · 03. 05. 2018 22:38

↑ Peter_CSR:

$\sin x - \cos x = \sin x - \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cdots$

Peter_CSR · 03. 05. 2018 22:45

↑ laszky:

dúfam, že som neurobil numerickú chybu, vyšlo $sin(x)= 0$ , správne?

Ako si ale došiel k pravej strane?

laszky · 03. 05. 2018 22:51 — Editoval laszky (03. 05. 2018 22:51)

↑ Peter_CSR:

Nn, neni to dobre, tim jsem te chtel navest na pouziti vzorce pro rozdil sinu ;-)

$\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

Postup: Upravujes vyraz $\sin x - \cos x$ . Kosinus si vyjadris jako posunuty sinus a pouzijes vzorec pro rozdil sinu. Tim ti tam zustane jenom jedna goniometricka funkce.

Al1 · 03. 05. 2018 22:57

↑ Peter_CSR:

Zdravím,

můžeš užít i úpravu umocnění $\left(\sin (x)+1\right)^{2}=\cos ^{2}(x)$ , dále rovnici vynuluješ a s užitím $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)$ rozložíš na součin. Řešíš ovšem důsledkovou úpravou, musíš vyřešit zkoušku, nebo zajisit, abys umocňoval jen nezáporné strany rovnice.

Peter_CSR · 03. 05. 2018 23:04

↑ laszky:

... je večer a ja robím 3 veci naraz :D

teraz zase vyšlo sin(x)=cos(x). To sa dá tiež riešiť a myslím že riešenie odpovedá môjmu grafickému riešeniu...

Peter_CSR · 03. 05. 2018 23:05

simulujem podmienky na príjmacích testoch: som v strese a vôbec sa nesústredím :D

Peter_CSR · 03. 05. 2018 23:07

Al1 napsal(a):
↑ Peter_CSR:

Zdravím,

můžeš užít i úpravu umocnění $\left(\sin (x)+1\right)^{2}=\cos ^{2}(x)$ , dále rovnici vynuluješ a s užitím $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)$ rozložíš na součin. Řešíš ovšem důsledkovou úpravou, musíš vyřešit zkoušku, nebo zajisit, abys umocňoval jen nezáporné strany rovnice.

to je tiež riešenie. Vďaka.

Stále nerozumiem ako dostal lazsky pravú stranu rovnice. Netušíš? :)

laszky · 03. 05. 2018 23:11

↑ Peter_CSR:

Ok, tak ja ti to teda dokoncim ;-)

$\sin x - \cos x = \sin x - \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Takze zbyva vyresit $\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$ , nebo-li $\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , to dava

$x=2k\pi$ nebo $x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi$ , v intervalu $[0,2\pi]$ ma tedy rovnice 3 reseni: $0,\frac{3}{2}\pi,2\pi$ .

Peter_CSR · 03. 05. 2018 23:29

už som ťa pochopil!!

Peter_CSR · 03. 05. 2018 23:32

↑ laszky:

mimochodom nie je pravda že $cos(x)= sin(\pi /2 - x)?$

a to sa nerovná $sin(x + \pi /2 )$

laszky · 03. 05. 2018 23:34

↑ Peter_CSR:

$\sin(\pi/2-x) = \cos(x)=\cos(-x) = \sin(\pi/2-(-x)) = \sin(\pi/2+x)$

MichalAld

Jinak si myslím, že pro to, abys poznal, kolik to má řešení, si to stačilo (aspoň trochu správně) nakreslit.
Že to má dvě řešení (na začátku a na konci intervalu) je tak nějak jasné hned, a jen posoudit, jestli tam bude to třetí.

Peter_CSR · 04. 05. 2018 00:41

laszky napsal(a):
↑ Peter_CSR:

$\sin(\pi/2-x) = \cos(x)=\cos(-x) = \sin(\pi/2-(-x)) = \sin(\pi/2+x)$

hmm...

$\cos(x)=\cos(-x)$

že ma to nenapadlo...

gadgetka

Zdravím, nebo celou rovnici vydělíš $\sqrt 2$ a dostaneš

$\cos \frac{\pi}{4}\sin x - \sin \frac{\pi}{4}\cos x=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$\sin $x-\frac{\pi}{4}$=-\frac{\sqrt 2}{2}$

Peter_CSR

gadgetka napsal(a):
Zdravím, nebo celou rovnici vydělíš $\sqrt 2$ a dostaneš

$\cos \frac{\pi}{4}\sin x - \sin \frac{\pi}{4}\cos x=-\frac{\sqrt 2}{2}$
$\sin $x-\frac{\pi}{4}$=-\frac{\sqrt 2}{2}$

to mi sedi ale...

riesenie pre x mi vyslo take ze vyhovuje dvom(?) bodom intervalu? Moje graficke riesenie vyhovovalo trom a to ${0,3\pi /2,2\pi }$ . alebo je tam chyba?

Al1 · 04. 05. 2018 10:19 — Editoval Al1 (04. 05. 2018 10:20)

↑ Peter_CSR:
$\sin $x-\frac{\pi}{4}$=-\frac{\sqrt 2}{2}\nl \bigg(\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{5}{4}\pi +2k\pi\bigg) \vee \bigg(\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{4}\pi +2k\pi\bigg)$

A samozřejmě vezmeš v potaz, že $x\in \langle0;2\pi \rangle$

Peter_CSR · 04. 05. 2018 11:54

↑ Al1:

rozumiem.

Keby si ale do povodnej rovnice v uvodnom prispevku vlozil hodnoty $0, 3\pi /2,2\pi$ rovnica by mala vyhovovat. Po linearnych upravach gadgetky vidim ale len 2 riesenia.

comu rozumiem zle?

Peter_CSR · 04. 05. 2018 11:54

↑ Al1:

a sanoizrejme vdaka za asistenciu :) Dal by som ti bludistak ale nepovolil si si ich :)

Al1 · 04. 05. 2018 13:07

↑ Peter_CSR:

Peter_CSR napsal(a):
Po linearnych upravach gadgetky vidim ale len 2 riesenia.

ó, nikoli
$(x-\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi +2k\pi\nl x=\frac{3}{2}\pi +2k\pi$ , v množině $\langle0;2\pi \rangle$ najdeme řešení $\frac{3}{2}\pi$

$x-\frac{\pi}{4}=\frac{7}{4}\pi +2k\pi \nl x=2\pi + 2k\pi \nl x=2k\pi$ , v množině $\langle0;2\pi \rangle$ najdeme řešení $0, 2\pi$
Základní velikost úhlu $2\pi$ je totiž 0

Peter_CSR

↑ Al1:

dakujem a... slubujem ze uz nebudem reagovat bez toho, aby som si poriadne premyslel co vlastne pisem...

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2018 22:29 — Editoval Peter_CSR (03. 05. 2018 22:39)

uprava gon. rovnice

#2 03. 05. 2018 22:38

Re: uprava gon. rovnice

#3 03. 05. 2018 22:45

Re: uprava gon. rovnice

#4 03. 05. 2018 22:51 — Editoval laszky (03. 05. 2018 22:51)

Re: uprava gon. rovnice

#5 03. 05. 2018 22:57

Re: uprava gon. rovnice

#6 03. 05. 2018 23:04

Re: uprava gon. rovnice

#7 03. 05. 2018 23:05

Re: uprava gon. rovnice

#8 03. 05. 2018 23:07

Re: uprava gon. rovnice

Al1 napsal(a):

#9 03. 05. 2018 23:11

Re: uprava gon. rovnice

#10 03. 05. 2018 23:24 Příspěvek uživatele Peter_CSR byl skryt uživatelem Peter_CSR.

#11 03. 05. 2018 23:29

Re: uprava gon. rovnice

#12 03. 05. 2018 23:32

Re: uprava gon. rovnice

#13 03. 05. 2018 23:34

Re: uprava gon. rovnice

#14 03. 05. 2018 23:37 — Editoval MichalAld (03. 05. 2018 23:39)

Re: uprava gon. rovnice

#15 04. 05. 2018 00:41

Re: uprava gon. rovnice

laszky napsal(a):

#16 04. 05. 2018 01:02 — Editoval gadgetka (04. 05. 2018 01:03)

Re: uprava gon. rovnice

#17 04. 05. 2018 09:10 — Editoval Peter_CSR (04. 05. 2018 11:51)

Re: uprava gon. rovnice

gadgetka napsal(a):

#18 04. 05. 2018 10:19 — Editoval Al1 (04. 05. 2018 10:20)

Re: uprava gon. rovnice

#19 04. 05. 2018 11:54

Re: uprava gon. rovnice

#20 04. 05. 2018 11:54

Re: uprava gon. rovnice

#21 04. 05. 2018 13:07

Re: uprava gon. rovnice

Peter_CSR napsal(a):

#22 04. 05. 2018 14:05 — Editoval Peter_CSR (04. 05. 2018 14:07)

Re: uprava gon. rovnice

Zápatí