Matematické Fórum

StandaA · 17. 06. 2018 11:04

Ahoj, mám tu jeden příklad, se kterým bych potřeboval pomoct.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-06/26172_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Dole napsané modře je správný výsledek.
Díky

KennyMcCormick

Nejdřív zjisti, za jaký čas vyteče všechna voda.

Za jaký čas vyteče voda?

Vagón musí ztratit hmotnost
$\Delta m=120 - 40 = 80\,\text{t}$ .

Tuto hmotnost ztratí za čas
$t_1=\frac{\Delta m}{100\,\frac{\text{l}}{\text{s}}}=\frac{80\,000\,\text{kg}}{100\,\frac{\text{kg}}{\text{s}}}=800\,\text{s}$ .

Takže vidíme, že vagón za 10 minut neztratí všechnu vodu.

Skrytá část je špatně, protože samozřejmě $F=ma$ jenom pro konstantní hmotnost. Sorry.

Edit: Teď si myslím, že jsem to původně napsal správně. Přečti si můj komentář tady (↑ KennyMcCormick:) pro vysvětlení a potom pokračuj ve skryté části.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

StandaA · 17. 06. 2018 16:43

Dál už vím, díky za pomoc

zdenek1 · 17. 06. 2018 19:46

↑ StandaA:↑ KennyMcCormick:
Mám pro vás dvě zprávy, obě špatné.
1. Navržený postup je špatně.
Vztah $a=\frac Fm$ platí POUZE, když je hmotnost konstantní, což zde evidentně neplatí.
a z toho plyne, že
2. Uvedený výsledek je taktéž špatně.

Budeš muset použít obecnější vztah
$F=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d}t }=\frac{\mathrm{d} (mv)}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t }v+m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$
a pokud tedy $m=m_0-100t$ , dostaneme $F=-100v+(m_0-100t)\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}$
a separací proměnných
$\int\frac{\text dv}{F+100v}=\int\frac{\text dt}{m_0-100t}$

zbytek jsou počty

KennyMcCormick · 17. 06. 2018 20:12

No jo, samozřejmě.

A to jsem se ještě radoval, jak mi to hezky vyšlo...

KennyMcCormick · 14. 07. 2018 23:34

↑ zdenek1:
Není to jinak?
https://en.wikipedia.org/wiki/Variable- … _accretion

Potom by jeho řešení a výsledek byly správně, protože by
$\textbf{v}_{\text{rel}}=0$ .

(Plus, tady je napsáno, že 2. Newtonův zákon je možné aplikovat jen na celý systém jako takový (tj. i na vodu).)

MichalAld

Já teď nemám čas to řešit, ale nejsem si úplně jistý - ta vytékající voda možná odnáší část hybnosti a tu bychom do toho možná měli nějak zakomponovat.

Jinak by to totiž podle mě mělo jít i bez komplikovaných složených derivací, protože když F=dp/dt, a F je konstantní, tak bychom prostě mohli říct, že

$p = p_0 + tF$

no a ze vztahu p=mv spočítat tu rychlost.

Jenže to je určitě špatně, protože kdyby byla síla nulová, tak by se hybnost zachovávala, a z toho by plynulo, že rychlost bude narůstat s tím, jak vytéká voda.

To je ale určitě nesprávně. Vytékající voda nám vagón urychlovat nebude, což je celkem zřejmé, když si to představíme v opuštěném kusu vesmíru (a né na Zemi) - vytékající voda se prostě bude pohybovat vpřed stejnou rychlostí jako když byla v té cisterně. Nemůže to být jinak, protože v soustavě která se bude pohybovat stejně rychle jako cisterna uvidíme prostě jen proud vody kolmo na cisternu, a jinak se tam nic nepohybuje. Proud vody se nebude pohybovat směrem "dozadu".

Takže to co navrhuje ↑ KennyMcCormick: je zřejmě správný přístup.

Takže ono to vlastně ukazuje, že ten původní postup je správný, né ?

Protože ve vztahu

$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$

tedy spíše takto

$dp = F dt =mdv+vdm$

se ten druhý člen obsahující dm nevyužije ke zvýšení hybnosti vagónu s cisternou, ale prostě se zahodí (voda poletí dál vedle cisterny, aspoň v prázdném vesmíru by letěla).

(úžasné, jak se takové jednoduché věci dokáží krásně zamotat)

KennyMcCormick · 15. 07. 2018 12:38

↑ MichalAld:
Z těch dvou odkazů ze svého minulého příspěvku bych řekl, že:

1.

Jinak by to totiž podle mě mělo jít i bez komplikovaných složených derivací, protože když F=dp/dt, a F je konstantní, tak bychom prostě mohli říct, že

$p = p_0 + tF$

no a ze vztahu p=mv spočítat tu rychlost.

Jenže to je určitě špatně, protože kdyby byla síla nulová, tak by se hybnost zachovávala, a z toho by plynulo, že rychlost bude narůstat s tím, jak vytéká voda.

$p$ je hybnost systému vagón+voda. Tj. v případě nulové síly by se $p$ mělo zachovávat.

2.
Nemůžeme psát

$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$

pro systém s proměnnou hmotností (v klasické mechanice).
Nejdřív si musíme vyjádřit $\d \textbf{p}$ (změnu hybnosti celého systému) tak, jako to dělají v prvním odkazu a dosadit ji do 2. Newtonova zákona.

MichalAld · 15. 07. 2018 15:35

KennyMcCormick napsal(a):
↑ MichalAld:
Z těch dvou odkazů ze svého minulého příspěvku bych řekl, že:

1.
Jinak by to totiž podle mě mělo jít i bez komplikovaných složených derivací, protože když F=dp/dt, a F je konstantní, tak bychom prostě mohli říct, že

$p = p_0 + tF$

no a ze vztahu p=mv spočítat tu rychlost.

Jenže to je určitě špatně, protože kdyby byla síla nulová, tak by se hybnost zachovávala, a z toho by plynulo, že rychlost bude narůstat s tím, jak vytéká voda.
$p$ je hybnost systému vagón+voda. Tj. v případě nulové síly by se $p$ mělo zachovávat.

Jo, to je jisté, celková hybnost se musí zachovávat, a to zahrnuje i tu hybnost vody, co vytekla.

To samé, když bude nenulová síla - přírustek hybnosti dp = F dt bude zahrnovat přírustek hybnosti celého systému, tedy cisterny a k tomu i vody, co vytekla. O tu se nám zase sníži hybnost samotné cisterny.

KennyMcCormick · 16. 07. 2018 01:02

↑ MichalAld:

To samé, když bude nenulová síla - přírustek hybnosti dp = F dt bude zahrnovat přírustek hybnosti celého systému, tedy cisterny a k tomu i vody, co vytekla. O tu se nám zase sníži hybnost samotné cisterny.

Jestli to myslíš tak, že se o hybnost vody sníží hybnost cisterny, tak to platí jenom pro nulovou sílu, je to tak?

Jestli myslíš, že se o zvýšení hybnosti celého systému sníží hybnost cisterny, tak zvýšení hybnosti celého systému je podle mě
$\d\textbf{p}=m\d\textbf{v}$ , zatímco zvýšení hybnosti cisterny je podle mě
$\d\textbf{p}=m\d\textbf{v}+\textbf{v}\d m$ .

MichalAld · 16. 07. 2018 15:43

Já vážně nevím, jak přesně by to mělo být. Ale poslední pokus, co mě napadl, dává aspoň limitní výsledky správně. Takže:

Pro hybnost cisterny by mělo platit:

$dp = F dt -v q_m dt$

qm - je hmotnostní průtok vytékající kapaliny (kg/s),
v - není výtoková rychlost ale rychlost pohybu té cisterny

takže v*qm*dt je element hybnosti, jež "vyteče" spolu s vodou
a F*dt je element hybnosti, jež cisterna získá od vnější síly

Nevím, jestli je to správně, ale přijde mi to docela logické.

Dále už je to jen matematika. Nejprve to napíšeme v "matematicky korektním" tvaru, tedy:

$\frac{dp}{dt} = F -v q_m$

dosadíme za p = mv

$\frac{d(mv)}{dt} = m \frac{dv}{dt} + v\frac{dm}{dt} = F -v q_m$

No ta teď - ten člen dm/dt je přesně to co máme na druhé straně jako -qm. Takže když to tam dosadíme, dostaneme

$m \frac{dv}{dt} - vq_m = F -v q_m$

Když to máme na obou stranách rovnice, tak to můžeme zrušit, čímž dostaneme klasické

$m \frac{dv}{dt} = F$

až na to, že m je funkcí času, není to konstanta, $m = m_0 - q_mt$

Nevím jestli je ten vzorec správný, pro nulovou sílu ovšem správný je (že rychlost se zachovává).

Pokud nás nezajímá rychlost, ale hybnost, použijeme ten první vztah

$\frac{dp}{dt} = F -v q_m$

Ten je pro nulovou sílu také správný - hybnost klesá lineárně v čase. Díky tomu, že lineárně klesá hmotnost. Takže rychlost se nebude měnit.

Jestli je to ale opravdu správně, to já vážně nevím. Ale připadá mi to tak.

KennyMcCormick

$\frac{dp}{dt} = F -v q_m$

Takhle to počítat podle mě půjde, ale pak už nebude platit, že
$\mathbf{F}=\frac{\d\mathbf{p}}{\d t}$ , tak nevím, jak se na to bude dívat jeho učitel...

Podle dvou odkazů, které jsem dal tady (↑ KennyMcCormick:), je síla změna hybnosti za čas celého systému s konstantní hmotností, tj. změna hybnosti v 2. Newtonově zákonu není změna hybnosti cisterny, ale změna hybnosti systému cisterna + voda.

Já bych použil vzorec z https://en.wikipedia.org/wiki/Variable- … n/ejection, odvozený z 2. Newtonova zákona:
$\mathbf{F}+\mathbf{v}_{\text{rel}}\frac{\d m}{\d t}=m\frac{\d \mathbf{v}}{\d t}$ , kde $\mathbf{v}_{\text{rel}}$ je relativní rychlost vody vůči cisterně.

Protože voda tryská kolmo, nebude mít na situaci žádný vliv, takže druhý člen odstraníme a získáme
$F=m\frac{\d v}{\d t}$ , což dá výsledek, ke kterému měl dojít ↑ StandaA:.

(Je to totéž jako to, co píšeš ty, ale možná se standardnějším významem pro $\mathbf{F}$ ...)

Edit: Pokud nikdo nemá žádné námitky, označím téma znovu za vyřešené. 🙂