Matematické Fórum

az · 20. 12. 2018 17:04

Zdravim, poradte mi prosim ako vypocitat tuto limitu:

$\lim_{x, y \to\infty, \infty }\frac{3x^{2} + y}{4x^{2} + y^{3}}$

Pomeranc · 20. 12. 2018 18:10

↑ az:

A podíval ses, jestli ta limita má vůbec smysl? Existuje nebo ne?
Pokud ne, tak není dál co řešit a pokud ano, tak se o tom můžeme dál pobavit.

az · 20. 12. 2018 20:43

↑ Pomeranc:
A ako urcim ci ma zmysel? Mam si limitu rozdelit na $\lim_{x \to\infty }\frac{3x^{2}}{4x^{2}} = \lim_{x \to\infty }\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ a $\lim_{y \to\infty }\frac{y}{y^{3}} = \lim_{y \to\infty }\frac{1}{y^{2}} = 0$
a teda $\frac{3}{4} \neq 0$ cize nema zmysel?

Pomeranc · 21. 12. 2018 00:15

↑ az:

Toto není správný postup. Je to chyba, výraz, který chceš zlimitit je zlomek s polynomy.
Nenech se zmást těmi více proměnnými a pracuj se zlomkem korektně, jak jste se to učili.

Vezmeš si přímky procházející počátkem. Mohou to být např. y=x, y=-x, y=0 atd.
(Resp. k danému místu se budeš blížit z různých směrů.)
Spočítáš limity. Co musí být splněno, aby limita existovala?

Rumburak

↑ az:

Ahoj. Domnívám se, že by též pomohla transformace do polárních souřadnic:

$x = r \cos t , x = r \sin t$ , $r > 0, t \in $0, \frac{\pi}{2}$$ .

Tím dojdeme k jakési funkci $[r, t] \mapsto g(r, t)$ a zkoumáme pak existenci limity

$\lim_{r \to +\infty}g(r,t)$

v závislosti na paremetru $t$ a případnou stejnoměrnost této limity vzhledem k parametru $t$ .

(V podstatě jde o podrobnější náčrt myšlenky z příspěvku kolegy ↑ Pomeranc: .)

MichalAld · 21. 12. 2018 12:32

$\lim_{x, y \to\infty, \infty }\frac{3x^{2} + y}{4x^{2} + y^{3}}$

Co bych zkusil já - nejprve dokázat, že limita neexistuje. Tj že výsledek závisí na křivce, po které se do cílového bodu dostaneme.

Zkusíme třeba jednoduchou křivku y = x

$\lim_{x \to\infty}\frac{3x^{2} + x}{4x^{2} + x^{3}} = 0$

Další pokus může být třeba x = y^3

$\lim_{y \to \infty }\frac{3y^{6} + y}{4y^{6} + y^{3}} = \frac{3}{4}$

To by mělo stačit jako důkaz, že limita neexistuje. Nebo né ?

Rumburak · 21. 12. 2018 16:19

↑ MichalAld:
Ano, to by mělo stačit :-) . (Zdravím.)

az · 22. 12. 2018 15:36

↑ Pomeranc:

Mate na mysli postup co spravil MichalAld? No limita ma zmysel ak sa limita plusova a limita minusova rovanju a v pripade ked ide limita do nekonecna tak existuje, ak nie je obmedzeny definicny obor a funkcia nie je periodicka. Ospravedlnujem sa ak to vravim chybne, ale na strednej toto ucivo uz nepreberame, studujem si to sam.

↑ Rumburak:

Vas postup je podrobnejsi nacrt myslienky od Pomeranca? Myslel som si ze podrobnejsi nacrt myslienky od Pomeranca spravil MichalAld.

vlado_bb · 22. 12. 2018 16:23

↑ az: Co je to plusova a minusova limita? Ten prvy odstavec znie ako by islo o funkciu jednej premennej. Navyse to s limitou v nekonecne ani nie je pravda, napriklad $f(x)=x\sin x$ je definovana na celom $R$ , nie je periodicka, ale limitu v nekonecne nema.

MichalAld · 23. 12. 2018 00:26

↑ az:
S limitou funkce 2. proměnných je to složitější než u jedné proměnné. Zatímco u jedné proměnné se to k tomu bodu, kde limitu stanovujeme může "blížit" jen zleva a zprava, u limity dvou (a více) proměnných se to k němu může blížit z nekonečného množství směrů. A "směr" vlastně není ten správný pojem. Lepší by bylo říci nekonečně mnoha způsoby.

Pokud si dobře vzpomínám, tak nelze obecně dokázat, že taková limita existuje. Můžeme zkusit dokázat, že neexistuje - jako v tomto případě, můžeme zkusit zavést polární souřadnice, a pokud výsledek nezávisí na $\varphi$ , máme vyhráno a limita existuje - a pokud se nepodaří ani jedno, tak prostě nevíme. Možná existují ještě nějaké další triky, jak zjistit, zda limita existuje nebo né, ale obecně to myslím nejde.

Pomeranc · 23. 12. 2018 19:54

↑ az:

Ano, mám na mysli, to co napsal kolega MichalAld.
Zároveň souhlasím s jeho posledním příspěvkem.

vanok · 24. 12. 2018 12:33

Ahoj ↑ MichalAld:,
Presnejsie mozes povedat, ze je pochopitelne vzdy mozne pouzit definiciu limity.

az · 25. 12. 2018 18:24

↑ MichalAld:

Dakujem za objasnenie. Co som pozeral ja tak existuju dva primarne sposoby overenia existencie, jeden je pomocou priamok, co ste robili vy. A druhy je pomocou viacnasobnych (opakovanych) limit.

kaja.marik napsal(a):
dvojna limita je limita funkce dvou promennych, takze zhruba receno, pri vypoctu limity v bode (0,0) se k tomuto blodu blizime soucasne ze vsech stran a po vsech moznych cestach. Je to opravdu dost vulgarne a nepresne receno, je to proste limita funkce dvou promennych tak jak je definovana pomoci okoli nebo epsilon a delta.

dvojnasobna limita: k tomu bodu (0,0) se blizime tak, ze nejdriv stahneme k nule jednu promennou a potom drunou. pocitaji se tedy dve limity funkce jedne promenne a znamena to ze se k bodu blizime po ose x nebo po ose y.

pokud neexistuje dvojnasobna limita nebo pokud ty dvojnasobne limity nejsou stejne, tak dvojna limita neexistuje.

pokud jsou obe dvojnasobne limity stejne, pak to pro dvojnou limitu vubec ni neznamena.

----------------------------------------------------------------
„Táák,“ vzdychl Kája zklamaně. „To jsou vymejšlenosti na tom světě!“

vanok · 25. 12. 2018 18:31

Ahoj ↑ az:,
Vies ako sa definuje limita funkcie f dvoch premennych v bode (a,b)?

misaH · 25. 12. 2018 19:26 — Editoval misaH (25. 12. 2018 19:28)

Z googlu:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zdá sa, že táto problematika je náročnejšia než by sa amatérovi mohlo zdať...

Rumburak · 27. 12. 2018 11:02

↑ az:

Zdravím.
Neřekl bych, že mnou navržený postup je podrobněji rozepsaný postup jmenovaného kolegy,
o něco takového jsem se ani nesnažil. Jde spíše o konkretisaci onoho postupu. Přechodem
k polárním souřadnicím $r, \varphi$ je totiž ihned vidět, že limita pro $r \to +\infty$ závisí na $\varphi$ , což je
pro uvedenou úlohu skutečností klíčového významu.

vanok · 27. 12. 2018 12:18 — Editoval vanok (27. 12. 2018 12:19)

Pozdravujem ↑ Rumburak:,
Skutocny problem je, ze tato tema sa da skutocne pracovat napr. v normovanych priestoroch ( tu v konecneho rozmeru, a netreba zabudnut ze vtedy su vsetki normy ekvivalentne). No vsak to nie je stredoskolakom pristupne.

MichalAld · 27. 12. 2018 22:48

az napsal(a):
↑ MichalAld:

Dakujem za objasnenie. Co som pozeral ja tak existuju dva primarne sposoby overenia existencie, jeden je pomocou priamok, co ste robili vy. A druhy je pomocou viacnasobnych (opakovanych) limit.

Jenže všechny tyhle způsoby slouží jen k důkazu toho, že limita neexistuje. Takže pokud si zvolíme křivku y=kx a výsledek nějak závisí na k, tak limita neexistuje. Pokud výsledek na k nezávisí, nic to neznamená.

Existuje nekonečné množství křivek typu y=f(x) (případně parametricky popsaných tj x = x(t) a y = y(t)), které bychom museli prověřit, abychom prokázali, že limita skutečně existuje. Ve škole jsme měli příklady, které na spoustu křivek reagovaly "dobře" - tj dávaly pořád stejný výsledek. Ale stejně existovala křivka, pro kterou daly výsledek jiný.

Jediný způsob co znám, jak dokázat existenci takové limity je použít polární souřadnice - a když výsledek nezávisí na phi, tak limita existuje.

Ale je možné, že eixistují ještě nějaké jiné hacky, jak existenci limity dokázat. Já je ale neznám.

vanok · 28. 12. 2018 09:36

Cau ↑ MichalAld:,
Vyssie som napisal co treba na to.
No tu ti dam jednoduchy priklad kde dokazem existenciu limity inac ako pises.
Priklad.
Dokazte, ze $\frac {x^2y^2}{x^2+y^2}$ ma limitu v bode $(0;0)$
Na dokaz, staci: Vieme, ze $|xy| \le \frac12(x^2+y^2)$ pre lubovolne realne cisla x,y.
Tak plati, $\frac {x^2y^2}{x^2+y^2} \le \frac {(x^2+y^2)^2}{4(x^2+y^2)}=\frac{x^2+y^2}4$ .

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2018 17:04

Limita

#2 20. 12. 2018 18:10

Re: Limita

#3 20. 12. 2018 20:43

Re: Limita

#4 21. 12. 2018 00:15

Re: Limita

#5 21. 12. 2018 11:09 — Editoval Rumburak (21. 12. 2018 13:14)

Re: Limita

#6 21. 12. 2018 12:32

Re: Limita

#7 21. 12. 2018 16:19

Re: Limita

#8 22. 12. 2018 15:36

Re: Limita

#9 22. 12. 2018 16:23

Re: Limita

#10 23. 12. 2018 00:26

Re: Limita

#11 23. 12. 2018 19:54

Re: Limita

#12 24. 12. 2018 12:33

Re: Limita

#13 25. 12. 2018 18:24

Re: Limita

kaja.marik napsal(a):

#14 25. 12. 2018 18:31

Re: Limita

#15 25. 12. 2018 19:26 — Editoval misaH (25. 12. 2018 19:28)

Re: Limita

#16 27. 12. 2018 11:02

Re: Limita

#17 27. 12. 2018 12:18 — Editoval vanok (27. 12. 2018 12:19)

Re: Limita

#18 27. 12. 2018 22:48

Re: Limita

az napsal(a):

#19 28. 12. 2018 09:36

Re: Limita

Zápatí