Matematické Fórum

jardofpr · 25. 01. 2019 16:58

ahoj ↑↑ krakonoš:

áno tá pravidelnosť tam je a nie je náhodná

ono aby bolo toto riešenie kompletné by bolo treba pokračovať až do rádu 5 alebo urobiť dôkaz indukciou,
oba prípady sa nakoniec nezaobídu bez rozširovania zlomku

stuart clark · 27. 01. 2019 16:31

Thanks ↑↑ jardofpr:

stuart clark

problem (61)

For a sequence $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ , If $x_{1}=5.$ and

$x_{n+1}=x^2_{n}-2.$ Then value of

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_{n+1}}{x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}=$

vanok · 05. 02. 2019 14:05

Hi ↑ stuart clark:,

This problem is problem 61?
This idea
$x_{n+2}-2=x_{n+1}^2-4=(x_{n+1}-2)(x_{n+1}+2)=(x_n^2-4)x_n^2=...=x_1^2...x_n^2(x_1^2-4)$
leads to the desired limit

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stuart clark

Thanks ↑ vanok:

but answer given as $6$

also i did not understand how to solve from the line

$x^2_{n+1}-4=(\prod^{n}_{i=1}x^2_{i})\cdot 21$

vanok · 05. 02. 2019 18:31

Hi ↑ stuart clark:,
We have
$\frac {x_{n+1}^2}{ \prod^{n}_{i=1}x^2_{i}}-\frac 4{\prod^{n}_{i=1}x^2_{i}}=21$
and
$\frac 4 { \prod^{n}_{i=1}x^2_{i}} \to 0$ if $x \to \infty$ .

jardofpr · 05. 02. 2019 22:43

hi there guys

Nice way to go ↑ vanok:, my solution is much more complicated

↑ stuart clark: I believe result proposed by ↑ vanok: is correct
I tried differently (to get rid off the -2 part of the recurrence definition) and got the same result as he got

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

stuart clark

Thanks ↑ vanok: ↑ jardofpr:

I have used Hyperbolic function $x_{1}=2\cosh\theta,x_{2}=2\cosh2\theta\;\cdots\cdots ,x_{n}=2\cosh2^{n-1}\theta$

stuart clark · 06. 02. 2019 11:34

problem (62)

If $f(x)=8x^3+3x$ and $f^{-1}(x)$ be the inverse of $f(x).$ Then $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f^{-1}(8x)-f^{-1}(x)}{x^{\frac{1}{3}}}$

jardofpr

hi ↑ stuart clark:

to problem (62)
with this one I actually had a lot of fun before the trick hit me

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

my first intention was to solve by mean value theorem and inverse function differential theorem,
didn't finish yet, so I would be interested also in solution using those tools

laszky · 09. 02. 2019 03:55

↑ stuart clark:

Or, you can consider the Taylor expansion of the function $f^{-1}(x)$ in $+\infty$ , which has the form

$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{1}{48}x^{-\frac{5}{3}}+\frac{1}{96}x^{-\frac{7}{3}}-\frac{1}{288}x^{-\frac{11}{3}}+\mathcal{O}(x^{-\frac{13}{3}})$ .

Then

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f^{-1}(8x)-f^{-1}(x)}{x^{\frac{1}{3}}} = \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2}\sqrt[3]{8x}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{x}+\mathcal{O}(x^{-\frac{1}{3}})}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{x\rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{2}\right) + \mathcal{O}(x^{-\frac{2}{3}}) = \frac{1}{2}$ .

stuart clark · 10. 02. 2019 12:12

Thanks ↑ jardofpr:↑ laszky:.

@Laszky can you please explain me how we get Taylor expansion of $f^{-1}(x)$ around Infinity.

laszky · 10. 02. 2019 14:31

↑ stuart clark:

Try to find a function $g(x)$ satisfying $f(g(x))=x$ . Start with the inverse of the term $8x^3$ and then add powers of $x^{-\frac{1}{3}}$ :

$g(x)= \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} + a_0+ a_1x^{-\frac{1}{3}} + a_2x^{-\frac{2}{3}} + \cdots$ .

Successively compute the unknown coefficients $a_i$ to fulfill $f(g(x))=x$ .

For example $f\left( \frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}} + a_0+ a_1x^{-\frac{1}{3}}\right)=x+6a_0x^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}(3+24a_0^2+12a_1)x^{\frac{1}{3}}+\cdots$ ,

which gives $a_0=0$ and $a_1=-\frac{1}{4}$ etc.

stuart clark · 11. 02. 2019 14:45

Thanks ↑ laszky:

vanok · 15. 02. 2019 11:13

Pozdravujem.
Jednoduchy ale uzitocny problem.
Problem (63)

Urcite limitu postupnosti $$ \sqrt{n+\sqrt n})-\sqrt{n-\sqrt n} $ _{n\in {\Bbb N}}$

Vyriesit problem aspon tromi roznymi metodami.

krakonoš · 15. 02. 2019 16:18

↑ vanok:
Ahoj.
Nejjednodušší způsob je zavest $\sqrt{n}=y$ a následně rozšířit zlomek pomocí vzorce rozdílu čtverců.Po vytknutí $\sqrt{y^{2}}$ ze jmenovatele dostaneme výsledek limity 1.
Druhý způsob je uvažovat místo n $\frac{1}{y}$ , kde y konverguje k nule zprava ,následně použít po úpravě na zlomek LHospitalovo pravidlo, případně místo něho Taylorův rozvoj funkcí $\sqrt{1+y}$ a $\sqrt{1-y}$ .
Pochopitelně vlastně vůbec nemá smysl mluvit o nějakém počtu způsobů, protože můžeme úvahy různě kombinovat (např lze zavést y, použít rozdíl čtverců, pak LHospitala a nakonec přejít k limitě k nule).Podobně jako nemá smysl se ptát na počet možností pro úpravu výrazů.

vanok · 15. 02. 2019 18:02

Ahoj ↑ krakonoš:,
Nehovor, ze nerozumies o co ide.
Uz ked riesit cvicenie priamo, potom napr. z pomocou L’Hôpitalovej metody, pouzitym rozvojov, a mnoho inych myslienok.
Zmysel ma tieto riesenia podrobne napisat.

Pochopitelne sa hrat z jedinou metodou a ju napisat bielu, ciernu ci cervenu to ozaj nema zmysel.

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj.
Vzdyt ale uvadim 3zpusoby podrobne.Nebo to chces uplne vsechno rozepsat???
Jde ti o 3 zpusoby,nebo o jeden,ve kterem jsou vsechny 3uvahy ?Protoze nekdy jsou i zpusoby,kde jsou obe uvahy zaroven,nebo zpusoby 3 ,kde je jen jedina vzdy z nich....

vanok · 15. 02. 2019 19:07

Pozdravujem,
Tu je Problem (64).

Dokazte, ze $\cos 1$ je iracionalne cislo.

Pripominam, ze $\cos 1= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac {(-1)^k}{(2k)!}$

vanok · 15. 02. 2019 19:15

Cau ↑ krakonoš:,
Ano ty si na to odpovedala. Ak ta napadnu este ine cesty k rieseniu problème (63) tak nevahaj. Alebo chces aby som aj ja popisal ine myslienky k rieseniu? ( no ide, pre nas, skor o zabavny problepm, ze )

jardofpr

ahoj ↑ vanok:

mohlo by stačiť k problému (64):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

tak ma napadá, dá sa inak ako pomocou MacLaurina?

vanok · 15. 02. 2019 23:13 — Editoval vanok (16. 02. 2019 15:26)

Ahoj ↑ jardofpr:,
Napisem ti tak moje riesenie. ( v tvojom celkom nerozumiem riadku po (*), no iste mozes to podrobnejsie vysvetlit ).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš

↑ jardofpr:
Ahoj.

Prosim te,mne prijde,ze by se naopak melo zvolit alfa sude (parne???),pak bude alfa.q vzdy sude a vyjadritelne jako 2beta a nastane tak spor v rovnici (*),kde na leve strane je prirozene cislo.Prvni sumu lze vyjadrit jako cele cislo volbou beta a tedy vlastne alfa,(dochazi vzdy ke kraceni vsech clenu) a druha suma je vzdy pro jakekoli beta v rozmezi 0 a1,to vidim z rozepsani rady a pri dosazeni 2beta za alfa.q,ale tve upravove kroky zde u druhe sumy nevidim.A tak nastane spor.
Pokud by bylo naopak alfa liche,jak pises,tak muze byt beta liche pri lichosti q a,anevidim tam pak to kraceni te prvni sumy na cele cislo.

Jeste me napada jedna vec,ktera by mohla vest k zjednoduseniVynasobime-li cos1.(alfa.q)!,zustava rada konvergentni.Cili pri urcite velikosti beta budou muset zbytkove soucty v absolutni hodnote byt mensi nez zadane epsilon.Cili vzdy najdeme takove beta,aby druha suma byla mezi nulou a jednickou(Bolzano Cauchyho podminka konvergence).
Jinak by to asi byl celkove dobry napad.

vanok · 16. 02. 2019 12:47

Pozdravujem ↑ jardofpr:,
Mne sa zda to moje riesenie menej namahave ako to tvoje, kde aby som ho poriadne precital by som potreboval ozaj vela casu.
No urobim to, ked budem mat na to cas.

Matematické Fórum

#276 25. 01. 2019 16:58

Re: Limitny maraton

#277 27. 01. 2019 16:31

Re: Limitny maraton

#278 05. 02. 2019 04:17 — Editoval stuart clark (05. 02. 2019 15:00)

Re: Limitny maraton

#279 05. 02. 2019 13:17 — Editoval krakonoš (05. 02. 2019 13:29) Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#280 05. 02. 2019 14:05

Re: Limitny maraton

#281 05. 02. 2019 14:59 — Editoval stuart clark (05. 02. 2019 15:03)

Re: Limitny maraton

#282 05. 02. 2019 18:31

Re: Limitny maraton

#283 05. 02. 2019 22:43

Re: Limitny maraton

#284 06. 02. 2019 11:28 — Editoval stuart clark (06. 02. 2019 16:23)

Re: Limitny maraton

#285 06. 02. 2019 11:34

Re: Limitny maraton

#286 07. 02. 2019 15:35 — Editoval jardofpr (07. 02. 2019 17:03)

Re: Limitny maraton

#287 09. 02. 2019 03:55

Re: Limitny maraton

#288 10. 02. 2019 12:12

Re: Limitny maraton

#289 10. 02. 2019 14:31

Re: Limitny maraton

#290 11. 02. 2019 14:45

Re: Limitny maraton

#291 15. 02. 2019 11:13

Re: Limitny maraton

#292 15. 02. 2019 16:18

Re: Limitny maraton

#293 15. 02. 2019 18:02

Re: Limitny maraton

#294 15. 02. 2019 18:13 — Editoval krakonoš (15. 02. 2019 18:14)

Re: Limitny maraton

#295 15. 02. 2019 19:07

Re: Limitny maraton

#296 15. 02. 2019 19:15

Re: Limitny maraton

#297 15. 02. 2019 22:13 — Editoval jardofpr (16. 02. 2019 12:18)

Re: Limitny maraton

#298 15. 02. 2019 23:13 — Editoval vanok (16. 02. 2019 15:26)

Re: Limitny maraton

#299 16. 02. 2019 11:48 — Editoval krakonoš (16. 02. 2019 13:32)

Re: Limitny maraton

#300 16. 02. 2019 12:47

Re: Limitny maraton

Zápatí