Matematické Fórum

BarLou · 07. 05. 2019 16:21

Zdravím! Potřebuji poradit s určením vlastností dělitelnosti:
vím že je reflexivní (a/a lze), antisymetrická (a/b se nerovná b/a) - tedy není symetrická, tranzitivní (když a dělí b, b dělí c, pak a dělí c). Jak ale určím souvislost? Její definici moc nechápu.
PŘ: mám příklad 12:3
tedy pokud 12 se nerovná 3, pak nastává jedna z možností (aby realce byla SOUVISLÁ): 12:3 nebo 3:12. první případ (12:3) lze, takže je tedy souvislá?
Děkuji za pomoc s objasněním!

misaH · 07. 05. 2019 19:09 — Editoval misaH (07. 05. 2019 19:10)

↑ BarLou:

O akej množine sa uvažuje?

Všetkých prirodzených čísel?

byk7 · 08. 05. 2019 01:53

Mlčky budu předpokládat, že jde o (binární) relaci na množině celých čísel.

Jak se definuje relace dělitelnosti? "a dělí b", pokud existuje nenulové celé číslo k takové, že b = k*a.

Tvrdíš, že dělitelnost je reflexivní. To je pravda, ale proč? Jak to dostaneme z definice dělitelnosti?

Platí (-1)/1 = 1/(-1), takže tvoje zdůvodnění antisymetrie je špatně. Každopádně je to zmatené, takže se zase zeptám, jaká je definice antisymetrie? A použiváš ji opravdu správně?

Pozn.: Rozhodně obecně neplatí implikace "relace R antisymetrická => R není symetrická", ani její opačný směr. Exitují relace, které jsou současně symetrické a antisymetrické, a naopak existují i takové, které nejsou ani antisymetrické, ani symetrické.

Správně jsi určila tranzitivitu, ale jak to ukážeme z definice?

Nakonec souvislost. Aby dělitelnost byla souvislá, musí platit
$\forall a,b\in\mathbb Z\,:\,a\neq b\Rightarrow(a\mid b\vee b\mid a)$ .
Z jednoho příkladu, nelze rozhodovat o nějaké globální vlastnosti. Co když to neplatí pro dvojici (1, 2)? Co třeba (8, 4), (21, 3), (28, 7) nebo (11111, 271)? Co takové (3, 2) nebo obecněji (n, n+1)?

BarLou · 08. 05. 2019 02:29

Pardon, nejsem moc matematik, tohle jsou pro mne úplně nové pojmy:o/
prostě máme obecně určit vlastnosti (relace) dělitelnosti (na množině celých i přirozených čísel). Teprve se v tom učím trochu orientovat. Je pravda, že na tu antisymetrii, která nevylučuje symetrii jsem úplně zapomněla. Používám ji tak, že když lze zaměnit na relaci pozici složek a nemá to na výsledek relace vliv, je symetrická. Když má (výsledek není z dané číselné množiny - většinou pracujeme jen s přirozenými čísly) je antisymetrická. někde jsem se i dočetla, že se AS a S nevylučují, ale nenašla jsem (nebo nepochopila) proč, tak jsem si to takto zjednodušila.
Dělitelnost je tedy reflexivní: každé číslo dělí samo sebe , výsledkem je jedna
antisymetrická: pro a různé od b, protože záměnou složek uspořádané dvojice získám jiný výsledek relace
tranzitivní: viz výše, té snad rozumím;o)
souvislá tedy není, to jsem už pochopila, moc děkuji: (3,2) a (2,3) - to mě vůbec nedošlo;o)

Omluvte mě, opravdu jsem v tomto nováček a už se v tom úplně ztrácím! Doufám, že jsem tu teď nenapsala další úplně blbosti:-/

byk7 · 08. 05. 2019 11:11

Mějme tříprvkovou množinu $S=\{a,b,c\}$ a dvě binární relace $R_1,R_2$ .

(1) Nechť $R_1=\{(a,b),(b,a),(b,c)\}$ – tato relace není ani symetrická, ani antisymetrická.

(2) Uvažme $R_2=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$ , pak $R_2$ je symetrická i antisymetrická. (Proč?)
_____

To zdůvodnění reflexivity nebude fungovat na celých číslech, protože tam máš ještě nulu.
Z definice dělitelnosti – existuje celé nenulové číslo 'k' takové, že 0 = k*0? Jistě, např. k=1. Ale rozhodně nemůžeš říct, že 0/0=1. (Prostě řečeno, neměla bys zaměňovat relaci dělitelnosti a existenci podílu, přestože spolu úzce souvisí.)

Pokusím se tu antisymetrii udělat pořádně.
Definice: Binární relace R na množině S se nazývá antisymetrická, pokud pro libovolné dva prvky a, b z množiny S platí
$\Bigl((a,b)\in R\ \wedge\ (b,a)\in R\Bigr)\Rightarrow a=b$ .

Dá se na to dívat tak, že pokud jsou 'a' a 'b' různé prvky, pak je v antisymetrické relaci nejvýše jedna z dvojic (a, b), (b, a).

Ukažme tedy tu antisymetrii dělitelnosti na přirozených číslech, tj. předpokládejme, že platí a=m*b a současně b=n*a, kde m, n jsou celá nenulová čísla. Dosaďmě z první rovnosti do druhé, tedy máme b=n*(m*b)=(n*m)*b. No jo, ale jde o celá kladná čísla, takže můžeme vydělit béčkem, dostaneme 1=n*m a opět – protože jsou to kladná celá čísla – máme m=n=1, takže a=m*b=1*b=b. A tím je důkaz antisymetrie u konce. :)

Podobně by se dělal důkaz tranzitivity.

Pokusím se to shrnout,
relace dělitelnosti na přirozených číslech
- je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní,
- není souvislá.

Relace dělitelnosti na celých číslech
- je reflexivní a tranzitivní,
- není antisymetrická (proč?),
- není souvislá.