Matematické Fórum

vviston · 10. 12. 2014 21:43

Ahoj, rád bych se zeptal, jaký je rozdíl mezi tělesem a lineárním prostorem. Pořád si to nemůžu nějak ujasnit. Tuším, že lineární prostor může být (nebo dokonce je) tělesem, ale každé těleso nemusí být lineárním prostorem. Mohl by mi někdo tedy dát konkrétní příklad? Děkuji

Eratosthenes · 10. 12. 2014 21:55

ahoj ↑ vviston:,

Žádné těleso není lineární prostor a žádný lineární prostor není těleso. Jsou to dvě různé struktury. Lineární prostor je speciální grupa (tu tvoří vektory). Ale aby grupa byla lineární prostor, musí "spolupracovat" s tělesem skalárů.

Pak říkáme, že se jedná o lineární prostor n a d tim či oním tělesem.

radekm · 11. 12. 2014 08:49 — Editoval radekm (11. 12. 2014 09:07)

vviston napsal(a):
Tuším, že lineární prostor může být (nebo dokonce je) tělesem

Obvykle to tak není. Když máte vektorový prostor nad tělesem $\mathbb{F}$ , tak nemusíte mít násobení vektorů.

Eratosthenes napsal(a):
Jsou to dvě různé struktury.

To ano. Některé množiny však lze chápat zároveň jako lineární prostor i jako těleso. Například $\mathbb{C}$ je těleso, ale je to také lineární prostor nad $\mathbb{R}$ .

Obecněji, je-li $\mathbb{F}_1$ podtělesem $\mathbb{F}_2$ , pak $\mathbb{F}_2$ můžeme chápat jako vektorový prostor nad $\mathbb{F}_1$ .

Eratosthenes

↑ radekm:

radekm napsal(a):
Některé množiny však lze chápat zároveň jako lineární prostor i jako těleso.

To jistě, ale to neznamená, že
každé těleso je lineární prostor,
ani to, že
každý lineární prostor je těleso.

Tak byl totiž formulován problém (aspoň jsem to tak pochopil).

radekm napsal(a):
Například $\mathbb{C}$ je těleso, ale je to také lineární prostor nad $\mathbb{R}$ .

Ani to není přesné. Množina $\mathbb{C}$ není těleso. Těleso je až $\mathbb{(C; +;.)}$ Vektorovým prostorem nad něčím je grupa $\mathbb{(C;+)}$ nad něčím. A grupa není těleso. Už proto ne, že má jen jednu binární operaci

Roscelinius · 11. 09. 2019 23:04

A co vektorový prostor se skalárním součinem (obecně vnitřním součinem) je to těleso nebo není? (myšleno příkladem tělesa). Pokud ne, tak jaký je přesně rozdíl v definici těchto dvou druhů struktur? Díky

Stýv · 12. 09. 2019 21:46

↑ Roscelinius: Je skalárním součinem vektorů vektor?

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2014 21:43

Lineární prostor vs těleso

#2 10. 12. 2014 21:55

Re: Lineární prostor vs těleso

#3 11. 12. 2014 08:49 — Editoval radekm (11. 12. 2014 09:07)

Re: Lineární prostor vs těleso

vviston napsal(a):

Eratosthenes napsal(a):

#4 12. 12. 2014 12:27 — Editoval Eratosthenes (12. 12. 2014 12:41)

Re: Lineární prostor vs těleso

radekm napsal(a):

radekm napsal(a):

#5 11. 09. 2019 23:04

Re: Lineární prostor vs těleso

#6 12. 09. 2019 21:46

Re: Lineární prostor vs těleso

Zápatí