Matematické Fórum

mikraa · 19. 10. 2019 18:39

Ahoj, můžete mi, prosím, poradit, jak dokázat, že

a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
b) log 3

jsou iracionální čísla?

Děkuji všem.

krakonoš

↑ mikraa:
Kdyby byla druha odmocnina ze dvou racionni cislo. muselo by platit ze 2=pnadruhou/qnadruhou, coz neplati.Zadne takove p ,q nenalezneme.Podobne u odmocniny ze 3..kdyz nelze cisla vyjadrit zlomkem, nelze ani jejich soucet vyjadrit zlomkem.
Podobne nelze vyjadrit u logaritmu 3 jako deset na p/q.

vanok · 19. 10. 2019 19:14 — Editoval vanok (19. 10. 2019 20:11)

Pozdravujem ↑ krakonoš:, ↑ mikraa:
To myslis takto?
Akoze $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=5+2\sqrt 6$
a $\sqrt 6$ je iracionnalne, tak aj $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je ( inac to da spor).

Dalsi dokaz, ( mam ho radcej ) vieme, ze $\sqrt{2}+\sqrt{3}= \frac 1{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
Tak ak $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je racionnalnne tak aj $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ je rationalnne, no vsak ich sucet je $2\sqrt 3$ ale ten je iracionnnalny. A to je spor.

vanok · 19. 10. 2019 19:39

Poznamka.
Spominam si na toto video:
https://www.google.fr/url?sa=t&rct= … SsNI9DesJ0

Ide o to ze ak basa logarithmu je 2, potom $log_ 23$ je iracionalne cislo

laszky · 19. 10. 2019 19:48

↑ krakonoš:

Ahoj. Soucet dvou iracionalnich cisel muze byt racionalni, napr:

$\sqrt{2}$ iracionalni

$2-\sqrt{2}$ iracionalni

$\sqrt{2} + (2-\sqrt{2}) = 2$ racionalni

misaH · 19. 10. 2019 20:05

↑ laszky:

:-)

krakonoš · 19. 10. 2019 20:20

↑ laszky:
Zadani ale neni tohoto typu.Podle me ten soucet je racionalni jen v pripadech co uvadis.Ja to nemyslela obecne, ale na soucty tech odmocnin.

mikraa · 19. 10. 2019 20:34 — Editoval mikraa (19. 10. 2019 20:35)

Ahoj ↑ krakonoš:, ↑ vanok:, ↑ laszky:,

dokázat, že $\sqrt{2}$ a $\sqrt{3}$ asi umím, ale jejich součet? Právě protože, někdy může být součet dvou irac. č. racionální...
Je možné to dokázat, jak řekla ↑ krakonoš: :"kdyz nelze cisla vyjadrit zlomkem, nelze ani jejich soucet vyjadrit zlomkem"?

↑ vanok: asi ti moc nerozumím. Mám dokázat, že $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je irac.č. A proč je tedy log 3. irac.č.?

Děkuji všem

vanok · 19. 10. 2019 20:52 — Editoval vanok (19. 10. 2019 21:04)

Ahoj ↑ mikraa:,
Na ten sucet $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ som ti napisal dva dokazy sporom (o tej technike sporom treba si osviezit vedomosti, ak si take vela nepouzivala).
A predpokladam tam, ze vies to, ze $\sqrt{3}$ , $\sqrt{2}$ su iracionnalne cisla. ( a aj to potrebujes si osviezit)?

Na iracionnalitu log 3, pokial basa toho logarithmique je cele cislo tak sa mozes inspirovat tym YouTube. No vsak dokaz je komplikovany napr. pre basu e ( ln ).

krakonoš · 19. 10. 2019 20:58

↑ mikraa:
Aby soucet dvou iracionalnich cisel bylo racionalni, muselo by jit o pripad souctu se slozenym cislem jak uvadi laszki, nebo napriklad pí+(-pí).Ale u typu v zadani si myslim, ze to nemuze dat racionalni, protoze se zde zadne racionalni nevyskytuje, ani zaporne

mikraa · 19. 10. 2019 21:16

↑ krakonoš: děkuji, taky jsem si to tak myslela, ale nevím, zda je to třeba nějak dokazovat nebo stačí dokázat, že $\sqrt{2}$ a $\sqrt{3}$ jsou irac. (to vím) a tím pádem jejich součet bude také irac.... přesně jak říkáš:-)

mikraa · 19. 10. 2019 21:21

↑ vanok:,

já vím, že jsi mi napsal dva důkazy (to chápu) a děkuji, ale můj problém je, že ani jednomu vůbec nerozumím... koukám na to a nevím, mohl bys mi je prosím trochu vysvětlit?
To že to jsou irac. chápu a vím...

Ten log 3 taky nechápu a tomu videu (děkuji:-) také moc nerozumím :-(

A samozřejmě vím, že skoro nic nevím, proto se ptám. Děkuji

vanok · 19. 10. 2019 21:59 — Editoval vanok (20. 10. 2019 00:02)

Ahoj ↑ mikraa:,
Tak ti tu este podrobnejsie vysvetlim jeden dokaz sporom.

Napr. tento v #3 poslednej tri riadky.

Mas ukazat, ze $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je iracionnalne.
Ukazeme to sporom

Tak predpokladas opak, cize ze $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je racionalne. ( a dokazovy postup ti ukaze, ze je to nemozne. To bude ten SPOR).
V prvom riadku toho dokazu pisem ze $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ je inverze cislo daneho cisla $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ....a ta relacia v tom prvom riadku dokazu da aj to ze potom aj to inverze cislo musi byt racionnalne.
No vsak vieme ze sucet dvoch racionnalnych musi byt racionnalnny.
No vsak potom ten sucet je $2\sqrt 3$ ale ako vidis to je iracionnalne cislo.
To znamena, ze moj predpoklad ze $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je racionnalne cislo nemoze platit. ( povieme to je spor). A tak plati opak toho predpokladu CIZE
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ je iracionnalne.

Ak to nevidis ako nieco prirodzene najdi si na webe heslo Dokaz sporom, a citaj a este citaj a rozmyslaj o tom ako to funguje pokial ti to nebude prirodzene.

Vela sily na tuto aktivitu.

vanok · 19. 10. 2019 22:17

↑ mikraa:,
Co sa tyka toho $log_23$
Napis si cely dokaz z videa (a ked pochopis dobre pojem dokazu sporom), tak to podobne analyzuj, tak ako som to urobil v predoslom prispevku.

Al1 · 19. 10. 2019 23:13

↑ vanok:
Zdravím,

v #13 máš překlep, místo $\sqrt{3}-\sqrt{3}$ má být $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ :-)

A je skutečně $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ číslo opačné k číslu $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ ?

mikraa · 19. 10. 2019 23:34

↑ vanok:,

děkuji, já vím, co je důkaz sporem, nechápala jsem tvůj postup v tom prvním případě $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=5+2\sqrt{6}$ , ale už vím, jak jsi k tomu došel $(a+b)^{2}$ .

Už chápu i ten druhý tvůj postup, jak jsi došel k tomu, že $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ ( $a^{2}-b^{2}$ ) (ale sama bych na to nepřišla).

Takže děkuji:-)

vanok · 20. 10. 2019 00:07

Ahoj []p592239|Al1[/re],
Dakujem, preklepy opravene.
To je dlho co sme sa tu nekrizovali.
Tie preklepy to je vdaka mojmu spatnemu zvyku, ze priamo pisem ( a dokonca to aj prekladam, lebo nemam zvyk mysliet po sk, no skusim sa polepsit a budem citat co pisem)

vanok · 20. 10. 2019 00:14 — Editoval vanok (20. 10. 2019 00:17)

Ahoj ↑ mikraa:
Ten zapis je evuivalenny z $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$ a tak zapis $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ znamena ze inverzny prvok cisla $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ je $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ .

To som rad, ze ti to pomohlo.

mikraa · 20. 10. 2019 00:52

↑ vanok:

děkuji:-)

Ovšem ten log 3 stejně nechápu. Za a) v zadání mám log 3, jak víme, že to je $\log_{2}3$

A podle toho videa také z toho nejsem moudrá... Jestli to dobře chápu, tak udělal:
$2^{log2(3)} =2^{\frac{a}{b}}$ , něco pokrátil, zbylo mu $3=2^{\frac{a}{b}}$ , to umocnil na b, takže získal $(3)^{b}=(2^{\frac{a}{b}})^{b}$ , pokrátil b a získal $3^{b}=2^{a}$ . Zde je ten důkaz, že 3 na cokoliv je liché, kdežto 2 na cokoliv je sudé, takže je to irac. Ale nechápu, jak k tomu vlastně došel. Umíš mi to jednoduše vysvětlit?

Děkuji:-)

vanok · 20. 10. 2019 02:38 — Editoval vanok (20. 10. 2019 02:40)

Ahoj ↑ mikraa:
Mas pravdu,ze tu ide o loqritmus bazy 2. A tvoje cvicenie sa tyka logarithmu bazy 10.

V dokaze vo videu su pouzite iba vlasnosti toho log_2 , jeho definicie(a jeho inverznej funkcie) a vlasnosti $3^{b}=2^{a}$ ( z ariitmetiky vies, ze kazde cele cislo ma jedinny rozklad , a tu staci vyuzit co pises na konci tvojho prispevku.

Co sa tyka tvojho log_10 tak sa inspiruj tym dokazom z log_2. (Tak, zatial nemas dokaz, ale mas metodu ako na to).

Staci?

mikraa · 21. 10. 2019 12:59

Ahoj ↑ vanok:,

už jsem si to našla jinde. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2019 18:39

Důkaz iracionálních čísel

#2 19. 10. 2019 18:58 — Editoval krakonoš (19. 10. 2019 19:05)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#3 19. 10. 2019 19:14 — Editoval vanok (19. 10. 2019 20:11)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#4 19. 10. 2019 19:39

Re: Důkaz iracionálních čísel

#5 19. 10. 2019 19:48

Re: Důkaz iracionálních čísel

#6 19. 10. 2019 20:05

Re: Důkaz iracionálních čísel

#7 19. 10. 2019 20:20

Re: Důkaz iracionálních čísel

#8 19. 10. 2019 20:34 — Editoval mikraa (19. 10. 2019 20:35)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#9 19. 10. 2019 20:52 — Editoval vanok (19. 10. 2019 21:04)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#10 19. 10. 2019 20:58

Re: Důkaz iracionálních čísel

#11 19. 10. 2019 21:16

Re: Důkaz iracionálních čísel

#12 19. 10. 2019 21:21

Re: Důkaz iracionálních čísel

#13 19. 10. 2019 21:59 — Editoval vanok (20. 10. 2019 00:02)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#14 19. 10. 2019 22:17

Re: Důkaz iracionálních čísel

#15 19. 10. 2019 23:13

Re: Důkaz iracionálních čísel

#16 19. 10. 2019 23:34

Re: Důkaz iracionálních čísel

#17 20. 10. 2019 00:07

Re: Důkaz iracionálních čísel

#18 20. 10. 2019 00:14 — Editoval vanok (20. 10. 2019 00:17)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#19 20. 10. 2019 00:52

Re: Důkaz iracionálních čísel

#20 20. 10. 2019 02:38 — Editoval vanok (20. 10. 2019 02:40)

Re: Důkaz iracionálních čísel

#21 21. 10. 2019 12:59

Re: Důkaz iracionálních čísel

Zápatí