Matematické Fórum

Marcia24

Dobrý den, jak se prosím vypočítá tento integrál? Co se tam udělalo za substituci?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/80092_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2Bpo%25C5%2599%25C3%25ADzen%25C3%25BD%2B2020-01-22%2B09-00-55.png

A tady to poslední = prosím? Děkuji

Brano · 22. 01. 2020 11:24

v tom prvom navrhujem substituciu $\sqrt{1-\frac{2M}{r}}=y$
to druhe je vytrhnute z kontextu, tak naisto ti nepoviem, ale prvy riadok vyzera ako oznacenie substitucie
t.j. ze $r^*$ je take, ze ma splnat tu diferencialnu rovnost a v druhom riadku je dopocitane explicitne

Marcia24 · 22. 01. 2020 11:51

V čem dělám prosím chybu?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/90240_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

To druhé teda bude asi spočítání toho samého integrálu.

Jj · 22. 01. 2020 14:23

↑ Marcia24:

Hezký den.

Řekl bych, že před vlastní integrací na začátku posledního řádku je ještě nutno za 'r' dosadit výraz z předposledního řádku. Pak je teprve možno integrovat.

Marcia24 · 23. 01. 2020 07:52

↑ Jj:
Děkuji
To pak vede na $\pm \int \frac{4M}{(1-y^2)^2}dy$ ?

Jj · 23. 01. 2020 12:01

↑ Marcia24:

Podle mě ano.

Marcia24 · 26. 01. 2020 07:13

↑ Jj:
A co s tím pak dál prosím?

vlado_bb · 26. 01. 2020 09:44

↑ Marcia24:Ide o racionálnu funkciu, takže rozklad na parciálne zlomky.

Marcia24 · 26. 01. 2020 11:18

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/33875_83423996_216339812733946_925688034949595136_n.jpg

Jj · 26. 01. 2020 11:18 — Editoval Jj (26. 01. 2020 11:20)

Neodolám a ještě doplním zajímavou metodu (aspoň pro mě), kterou tu na fóru pro integrály podobného tvaru kdysi radila kolegyně Krakonoš:

Při výpočtu integrálu $I=\int \frac{dy}{(1-y^2)^2}$ řešme nejdříve formálně po částech snazší integrál

$I_1=\int \frac{dy}{1-y^2}: u= \frac{1}{1-y^2}, v' = 1; u'= \frac{2y}{(1-y^2)^2}, v = y$

$\Rightarrow I_1= \frac{y}{1-y^2}-\int \frac{2y^2}{(1-y^2)^2}\,dy=\nl = \frac{y}{1-y^2}+2\int \frac{(1-y^2)-1}{(1-y^2)^2}\,dy=\nl = \frac{y}{1-y^2}+2\int \frac{dy}{1-y^2}-2\int \frac{dy}{(1-y^2)^2}=\nl = \frac{y}{1-y^2}+2I_1-2I\nl \Rightarrow I = \frac12 $\frac{y}{1-y^2}+I_1$$
takže stačí řešit jen jednodušší integrál I_1.

Marcia24 · 26. 01. 2020 12:20

↑ Jj:
Moc děkuji a teď prosím?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-01/37644_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Jj · 26. 01. 2020 12:47 — Editoval Jj (26. 01. 2020 12:52)

↑ Marcia24:

Ještě k parciálním zlomkům: Řekl bych, že podle tvaru jmenovatele (jde rozložit na součin lineárních členů) by se mělo při výpočtu koeficientů vyjít ze vztahu

$\frac{1}{(1-y^2)^2}=\frac{A}{1+y}+\frac{B}{(1+y)^2}+\frac{C}{1-y}+\frac{D}{(1-y)^2}$

Asi to chce nahlédnout do materiálů.
(Výsledek by měl myslím být A = B = C = D = 1/4)

Marcia24

↑ Jj:
Děkuji a když jsem to pak počítala podle Vaším způsobem, tak mi vyšlo A=B=1/2 pro $\frac{1}{(1-y^2)}$ . To je dobře?

Jj · 26. 01. 2020 13:20

↑ Marcia24:

$\frac12 $\frac1{1-y}+\frac1{1+y}$=\frac12 $\frac{1+y+1-y}{(1-y)(1+y)}$=\frac1{1-y^2}$ , takže je to dobře.

Marcia24 · 26. 01. 2020 13:23

Děkuji a kde je prosím chyba v tom druhém členu? Ten první vyšel.

Jj · 27. 01. 2020 00:32

↑ Marcia24:

Řekl bych, že úprava druhého členu na "jejich" tvar je dost zapeklitá:

$\ln\frac{1+y}{1-y} = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\cdot\frac{1+y}{1+y}\right)=\nl =\ln\frac{(1+y)^2}{1-y^2} = 2\ln\sqrt{\frac{(1+y)^2}{1-y^2}}=\nl =2\ln\frac{1+y}{\sqrt{1-y^2}}=2\ln\frac{1+\sqrt{1-\frac{2M}r}}{\sqrt{\frac{2M}r}}=\nl 2\ln\sqrt{\frac{r}{2M}}$1+\sqrt{1-\frac{2M}r}$=2\ln$\sqrt{\frac{r}{2M}}+\sqrt{\frac{r}{2M}-1}\,$$

+ vynásobit výsledek konstantou M.

Marcia24 · 27. 01. 2020 03:36

Mockrát Vám děkuji, ještě prosím, proč se to násobí jen M a ne 2M?

Myslela jsem, že se počítá se integrál 4M I a po zkrácení s jednou polovinou je to 2M. V čem je prosím chyba? Děkuji

Jj · 27. 01. 2020 08:29

↑ Marcia24:

Viz ↑ Marcia24: - ještě 1/2 před závorkou s oběma členy (podle mě správně) -> 4M*1/4 = M.

Marcia24 · 27. 01. 2020 09:48

↑ Jj:
Aha. Mockrát Vám děkuji.

Matematické Fórum

#1 22. 01. 2020 09:02 — Editoval Marcia24 (22. 01. 2020 09:16)

integrál

#2 22. 01. 2020 11:24

Re: integrál

#3 22. 01. 2020 11:51

Re: integrál

#4 22. 01. 2020 14:23

Re: integrál

#5 23. 01. 2020 07:52

Re: integrál

#6 23. 01. 2020 12:01

Re: integrál

#7 26. 01. 2020 07:13

Re: integrál

#8 26. 01. 2020 09:44

Re: integrál

#9 26. 01. 2020 11:18

Re: integrál

#10 26. 01. 2020 11:18 — Editoval Jj (26. 01. 2020 11:20)

Re: integrál

#11 26. 01. 2020 12:20

Re: integrál

#12 26. 01. 2020 12:47 — Editoval Jj (26. 01. 2020 12:52)

Re: integrál

#13 26. 01. 2020 12:57 — Editoval Marcia24 (26. 01. 2020 12:57)

Re: integrál

#14 26. 01. 2020 13:20

Re: integrál

#15 26. 01. 2020 13:23

Re: integrál

#16 27. 01. 2020 00:32

Re: integrál

#17 27. 01. 2020 03:36

Re: integrál

#18 27. 01. 2020 08:29

Re: integrál

#19 27. 01. 2020 09:48

Re: integrál

Zápatí