Matematické Fórum

kastanek · 07. 03. 2020 13:31

Nevíte, jak dokázat pravidlo pro dělitelnost jedenácti? Pokud ho neznáte, zkusil bych ho zapsat asi takto:
$\left(\sum_{i=0}^n (-1)^i \cdot a_i \right) \Big| 11 \Rightarrow \overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}\, \Big| \, 11,\,\mathrm{kde}\space a_0, a_1,...,a_n \in \mathbb{N}_0,\space a_n \not= 0$
a $\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0}$ je označení pro (n+1)-ciferné číslo.
Mimochodem, opačná implikace asi platí také, že?

vanok · 07. 03. 2020 14:01 — Editoval vanok (07. 03. 2020 14:04)

Ahoj ↑ kastanek:,
Najprv mala poznamka: tvoj zapis je nestandartny.
Bezne sa pise $11|n$ pre 11 deli cislo n. ( a nie $n|11$ .

Inac ten tvoj dokaz iste dokazes aj sam urobit.
Staci konstatovat, ze $10 \equiv -1$ $(\mod 11)$ . A potom to vyuzit. Tak mas

$10^2\equiv (-1)^2$ . $(\mod 11)$ , cize.....pokracuj!

( pripominam, ze staci vediet $a\equiv b$ $(\mod 11)$ znamena, ze prirodzene a-b je delitelne 11-tymi ).

jarrro · 07. 03. 2020 14:13 — Editoval jarrro (26. 05. 2023 19:41)

Nemáš opačne 11tku a číslo? Ak áno tak
[mathjax]\sum\limits_{i=0}^{n}{10^{i}{a_{i}}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{\left(-1\right)^{i}a_{i}}+\sum\limits_{i=0}^{n}{\left(10^{i}-\left(-1\right)^{i}\right)a_{i}}
[/mathjax]
pričom každý koeficient $10^{i}-$-1$^{i}$ je deliteľný
$10-$-1$=11$

laszky · 07. 03. 2020 14:15

↑ vanok:↑ kastanek:

Ahoj, ja si popravde moc nepamatuju, ze bychom $a\equiv b\; (\mod 11)$ pouzivali na stredni.

Zkusil bych se tomu vyhnout (ikdyz je to v podstate to same) a napsal bych si

$\overline{a_n a_{n-1}...a_1 a_0} = \sum_{i=0}^n 10^ia_i = \sum_{i=0}^n (11-1)^ia_i = \cdots$

Z binomicke vety by to pak jiz melo byt lehke dokazat ;-)

vanok · 07. 03. 2020 14:29

Servus ↑ laszky:,
No mame podobne myslienky. A tiez aj binomicka veta sa na strednej skole, zda sa mi, sa uci len v pripade n=2 a n=3.

To asi preto sa to kriterium im dava bez dokazu....

surovec

↑ jarrro:
Hezký...

kastanek · 07. 03. 2020 15:03

↑ vanok:
Přiznám se, že tomu zápisu nerozumím ( $a \equiv b$ znamená a-b? Proč tedy nepsat rovnou mínus?). Jinak binomická věta se většinou na středních školách bere (asi ne na uměleckých, zdravotních apod.).
↑ jarrro:
Krátké, elegantní. Díky!
↑ laszky:
No, "lehké dokázat"... :-)
Binomický rozvoj by byl v každém sčítanci té sumy a pak jednotlivé členy v jednotlivých rozvojích sčítat, to mi nepřipadá jednoduché. Nebo jsi to myslel nějak jednodušeji, co v tom teď nevidím?

misaH · 07. 03. 2020 15:19 — Editoval misaH (07. 03. 2020 15:26)

Samozrejme, že sa to u nás na SŠ neučí...

Ináč ten znak v (trochu) iných súvislostiach znamená totožnosť (už ZŠ).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/90767_20200307_151815.jpg

vanok · 07. 03. 2020 15:23

Ahoj ↑ kastanek:,
Len mala poznamka, s tym $a \equiv b$ $( \mod 11)$ sa pracuje ako zo zvyskami po deleni 11, co sa tyka scitania a nasobenia. ( no skutocne sa to neuci v dnes na SS, i ked je to jednoduche).

A v kazdom dokaze, z tych co su tu navrhnute, podobny problem. ( co sa tyka veci ucenych na strednej skole).
Napr. Aj v dokaze od kolegu ↑ jarrro: ( pozdravujem) ked pise
$10^{i}-$-1$^{i}$ je delitelny $10-$-1$=11$ , je to nedokazane v jeho peknom prispevku.

Ako vidis, je v takychto dokazoch tazko ostat v ramci strednej skoly.

No neskor na vysokoj skole to budes mat skutocne dokazane.

laszky · 07. 03. 2020 15:25

↑ kastanek:

$(11-1)^i \; = \; \sum_{k=0}^i\binom{i}{k}11^{i-k}(-1)^k \; = \; 11^i-i\cdot11^{i-1}+\cdots+i\cdot11\cdot(-1)^{i-1}+(-1)^i \; = \; 11m+(-1)^i$

kastanek

↑ vanok:
Tak jarrro to tam nemá dokázané, ale to je vcelku jasné, že je to vždy dělitelné 11...
↑ laszky:
Aha, jasné, také velmi pěkné...

A stejně by se asi dokazovala i dělitelnost sedmi, i když tam by to bylo formálně o dost komplikovanější...

jarrro · 07. 03. 2020 21:16 — Editoval jarrro (26. 05. 2023 19:56)

↑ vanok:vychádzal som z toho, že je to špeciálny prípad [mathjax]\left(a-b\right)\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}b^{k}}
=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^{n-k}b^k}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^{n-1-k}b^{k+1}}[/mathjax]
[mathjax]=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^{n-k}b^k}-\sum\limits_{k=1}^{n}{a^{n-k}b^{k}}=[/mathjax]
[mathjax]=a^n+\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{a^{n-k}b^k}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{a^{n-k}b^{k}}\right)-b^n=[/mathjax]
[mathjax]=a^n-b^n[/mathjax]

vanok · 07. 03. 2020 21:55 — Editoval vanok (07. 03. 2020 21:56)

Ahoj ↑ jarrro:,
Vsak ano.
No pre stredoskolaka to nie je to to najprirodzenejsie.
No ale aj praca mod 11 je tiez pre niektorych prirodzena a pre inych nie.

Co si myslis o pouziti tohto : 1 , 10 , 100 1000, ... sa pise mod 11
1; -1 , 1, -1,...

( aj na to musia cakat na vysoku skolu?)

misaH · 07. 03. 2020 21:57

↑ vanok:

Žiadne modulo sa na stredných školách neučí.

vanok · 07. 03. 2020 23:09

↑ misaH:,
Skutocne?
A co meranie casu?
Napr.
3 h popoludni a 15 h.
Potom
Uhlove miery pre orientovane uhly.

A tiez su ine naznaky. Ako vlasnosti parnych a neparnych cisiel.
( niektori stredoskolak vedia pouzit aj situacie mod 3, i ked asi len na olympiadach....)

No tak ci tak, niektore dokazy treba nechat pre vysoku skolu.

Ferdish

↑ vanok:
Ako náznaky áno, ale komplexnejšie podanie modula poťažmo kongurencií sa na strednej škole (gymnaziálneho charakteru) nepreberá.

Osobne si spomínam na operácie DIV a MOD aj to len čísla 10 v rámci hodín informatiky, tie som však mal iba v prvom ročníku, ďalej už nie (možno to viac mali vysvetlené spolužiaci, ktorí študovali so zameraním na informatiku).

A to bol prosím pekne rok 2005.

vanok · 07. 03. 2020 23:35

Pozdravujem ↑ Ferdish:,
Preto som napisal, ze niektore dokazy sa robia iba na vysokej skole.

Ferdish

↑ vanok:
Dovolím si pozmeniť slovíčko "niektoré" na slovné spojenie "takmer všetky".

vanok · 07. 03. 2020 23:56

↑ Ferdish:,
Ano, to je dobra poznamka. 👍

Matematické Fórum

#1 07. 03. 2020 13:31

Dělitelnost jedenácti

#2 07. 03. 2020 14:01 — Editoval vanok (07. 03. 2020 14:04)

Re: Dělitelnost jedenácti

#3 07. 03. 2020 14:13 — Editoval jarrro (26. 05. 2023 19:41)

Re: Dělitelnost jedenácti

#4 07. 03. 2020 14:15

Re: Dělitelnost jedenácti

#5 07. 03. 2020 14:29

Re: Dělitelnost jedenácti

#6 07. 03. 2020 14:56 — Editoval surovec (07. 03. 2020 14:57)

Re: Dělitelnost jedenácti

#7 07. 03. 2020 15:03

Re: Dělitelnost jedenácti

#8 07. 03. 2020 15:19 — Editoval misaH (07. 03. 2020 15:26)

Re: Dělitelnost jedenácti

#9 07. 03. 2020 15:23

Re: Dělitelnost jedenácti

#10 07. 03. 2020 15:25

Re: Dělitelnost jedenácti

#11 07. 03. 2020 15:37 — Editoval kastanek (07. 03. 2020 15:40)

Re: Dělitelnost jedenácti

#12 07. 03. 2020 21:16 — Editoval jarrro (26. 05. 2023 19:56)

Re: Dělitelnost jedenácti

#13 07. 03. 2020 21:55 — Editoval vanok (07. 03. 2020 21:56)

Re: Dělitelnost jedenácti

#14 07. 03. 2020 21:57

Re: Dělitelnost jedenácti

#15 07. 03. 2020 23:09

Re: Dělitelnost jedenácti

#16 07. 03. 2020 23:15 — Editoval Ferdish (07. 03. 2020 23:16)

Re: Dělitelnost jedenácti

#17 07. 03. 2020 23:35

Re: Dělitelnost jedenácti

#18 07. 03. 2020 23:51 — Editoval Ferdish (07. 03. 2020 23:51)

Re: Dělitelnost jedenácti

#19 07. 03. 2020 23:56

Re: Dělitelnost jedenácti

Zápatí