Matematické Fórum

Makronka · 08. 04. 2020 12:40

Z města A vyjel ráno do města B osobní vlak. Ve stejný okamžik vyjel po stejné trati z města B do města A nákladní vlak. Oba vlaky projely celou trasu stálými rychlostmi. Na trati se minuly v 9.45 h, osobní vlak dojel do cíle v 11.45 h, nákladní vlak ve 14.15 h. V kolik hodin to bylo?
———

Vlak jel rychlostí x km/h
N. Vlak jel rychlostí y km/h

Ale nevím jak složit soustavu, aby to dávalo smysl.
Podle logického myšlení mi vyšlo že by to mělo být 3h takže 6:45

surovec · 08. 04. 2020 12:56

↑ Makronka:
Nemusíš nic řešit, odpověď je už v zadání: ve 14.15.

Ferdish · 08. 04. 2020 13:05

↑ surovec:
Pán kolega, hoci vidím že máte náladu na vtipkovanie chytaním za slovíčka, prosím vás aby ste sa toho zdržali.

Aj keď je to v zadaní nie veľmi šťastne napísané (čo však nie je priama vina zadávateľky, zrejme ho takéto dostala), otázkou je, o ktorej hodine vyrazili oba vlaky zo svojich staníc.

Ferdish

↑ Makronka:
Majme vzdialenosť medzi A a B určenú ako $l$ km. Vlaky sa stretnú v jednom mieste medzi oboma mestami, nech je toto miesto vzdialené $a$ km od mesta A.

V čase stretnutia teda osobný vlak prešiel vzdialenosť $a$ km a nákladný vlak zasa vzdialenosť $l-a$ km. K stretnutiu došlo o 9:45 hod.

Zo zvyšku zadania vieme, že osobnému vlaku trvalo 11:45 - 9:45 = 2:00 hod. prejsť zvyšnú vzdialenosť svojej trasy, čo je $l-a$ km. Rovnako nákladnému vlaku trvalo prejsť svojich zvyšných $a$ km celých 14:15 - 9:45 = 4:30 hod.

Teraz si musíme označiť jednotlivé časové intervaly.
Nech časové úseky od štartu až po stretnutie oboch vlakov sú označené ako $t_{o1},t_{n1}$ a časové intervaly kedy prechádzali zvyšné úseky svojej trate ako $t_{o2},t_{n2}$ .

Vieme že $t_{o1}=t_{n1}$ keďže oba vyrážali zo svojich staníc v rovnakú hodinu i minútu.
Zo zadania tiež vieme, že $t_{o2}=2, t_{n2}=4,5$ (časy sú vyjadrené hodinách).
A tiež vieme, že oba vlaky prešli rovnaké celkové vzdialenosti (vzdialenosť medzi mestami A a B).

Makronka · 08. 04. 2020 13:12

↑ Ferdish:
Ano myslí se tím v kolik téhož dne ráno vyjely... a bohužel je to takto napsané.

Makronka · 08. 04. 2020 13:18

↑ Ferdish:
V tom případě:
x= 4,5
l-x= 2

Ale to vychází (x,l) = (4,5 ; 6,5)

Ferdish · 08. 04. 2020 13:26

↑ Makronka:
Medzitým som editoval príspevok, takže zrejme vaše značenie nebude sedieť s tým mojím...

Cheop · 08. 04. 2020 13:27 — Editoval Cheop (08. 04. 2020 13:30)

↑ Makronka:
Ano výsledek je správně, vlaky vyrazily opravdu v 6:45
Počítal bych takto:
v_1 rychlost osobáku (km/h)
v_2 rychlost nákladního (km/h)
t - čas od vyjetí do střetnutí v 9:45
s_1 vzdálenost, kterou ujede osobák za čas t
s_2 vzdálenost, kterou ujede nákladní vlak za čas t
1)
$v_1\cdot t =s_1\\v_2\cdot t=s_2$
2)
Vzdálenost s_2 ujede osobák za 2 hodiny(11:45 -9:45 = 2) tj:
$2v_1=v_2t\\t=\frac{2v_1}{v_2}$
3)
Vzdálenost s_1 ujede nákladní vlak 4,5 hodiny (14:15 - 9:45 = 4,5)tj:
$\frac{9v_2}{2}=v_1\cdot t\\t=\frac{9v_2}{2v_1}$
$\frac{2v_1}{v_2}=\frac{9v_2}{2v_1}\\2v_1=3v_2\\t=\frac{9v_2}{3v_2}=3$

Čas t = 3 hodiny tj. vlaky vyjely v 9:45 - 3 = 6:45