Matematické Fórum

Mitsuko

Ahoj. Můžu poprosit o radu?

Je zadané komplexní číslo $z= (-1+\sqrt{3} i)$
Mám vypočítat $z^3$ , což mi vyšlo $8$ .

Otázka zní: Nalezněte další dvě komplexní čísla, která mají stejnou třetí mocninu.

Našel jsem $z= (-1-\sqrt{3} i)$ spíš tak úvahou. Jaké bude druhé komplexní číslo?

jarrro · 09. 05. 2020 16:49

Všetky n té odmocniny komplexného čísla ležia vo vrcholoch pravidelného n uholníka

vanok · 09. 05. 2020 17:08

Dalsia pomoc.
Realne cislo a, je komlexne cislo formy a+0i .

Mitsuko · 09. 05. 2020 17:16

Takže správná odpověď je $z = 2$ ? Komplexní číslo bez imaginární části.

jarrro · 09. 05. 2020 17:34

↑ Mitsuko:áno

Mitsuko · 09. 05. 2020 18:34

↑ jarrro:
Díky!

MichalAld · 09. 05. 2020 23:10

Podle mě je nejjednodušší si číslo převést na exponenciální tvar, tedy na tvar typu

$z = Z e^{i \varphi}$

a k tomu si uvědomit, že když fázi zvýšíme o 2 PI, dostaneme pořád to samé číslo.

Když ho tedy budeme chtít umocnit na třetí, tak

$z^3 = Z^3 e^{i 3\varphi}$

tedy velikost umocníme na třetí a fázi vynásobíme třema.

A pokud teď chceme najít ta další dvě čísla, která po umocnění na třetí dají to samé, tak hledáme takovou fázi, aby nám po vynásobení 3 dala $3 \varphi + 2 \pi$ nebo $3 \varphi + 4 \pi$ ,

takže zjevně původní číslo musí mít fázi $\varphi + \frac{2}{3} \pi$ nebo $\varphi + \frac{4}{3} \pi$ . Víc už jich není, protože další by bylo $\varphi + \frac{6}{3} \pi$ což je $\varphi + 2 \pi$ a to už je to samé číslo jako to se kterým jsme začli. Pokud bychom měli vyšší mocninu, bude jich více.