Matematické Fórum

Ještě prosím o kontrolu jednoho příkladu. Myslíte, že to je takto správně? Spočtěte integrál
[mathjax2]\oint_C \frac{z}{\overline{z}}\, \mathrm{d}z,[/mathjax2]
kde C je křivka postupně úsečka z -1 + 0i do 1 + 0i a pak (horní) půlkružnice z 1 zpět do -1 (střed v 0, poloměr 1).
Udělal jsem to takto. Křivku jsem rozdělil na dvě části [mathjax]\varphi_1(t)=t,\,t\in\left<-1;\,1\right>[/mathjax] a [mathjax]\varphi_2(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}t},\,t\in\left<0;\,\pi\right>[/mathjax]. Dosadím:
[mathjax2]=\int_{-1}^1 \frac{t}{\overline{t}}\cdot t'\, \mathrm{d}t+\int_{0}^\pi \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}}\cdot (\mathrm{e}^{\mathrm{i}t})'\, \mathrm{d}t=[/mathjax2]
[mathjax2]=\int_{-1}^1 1\, \mathrm{d}t+\mathrm{i}\cdot\int_{0}^\pi \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}\, \mathrm{d}t=[/mathjax2]
[mathjax2]=2+\mathrm{i}\cdot\left[\frac{ \mathrm{e}^{3\mathrm{i}t}}{3\mathrm{i}}\right]_0^\pi=2+\frac{1}{3}\left( \mathrm{e}^{3\mathrm{i\pi}}-1\right)[/mathjax2]