Matematické Fórum

Roscelinius · 05. 03. 2021 07:09

Dobrý den,
dokázal by mi prosím někdo uvézt příklady funkcí které nejsou Riemannovsky integrovatelné ale mají nenulový integrál Lebesgueův? Ideálně kdyby šlo o funkce se vztyhem na fyziku.
Děkuji Petr

mirek_happy24 · 05. 03. 2021 07:38

Logicky si myslím, že to může být jakákoliv množina, s níž se můžeme setkat v praxi...

Doufám, že jsem Vám půomohl, nechěl bych přijít o reputaci.
Přeji hezký den.

Roscelinius · 05. 03. 2021 09:54

↑ vlado_bb:
Dirichletova funkce má právě nulový L-integrál. V podstatě jsem narazil jen na funkce s nulovým L- integrálem, které nejsou R-integrabilní.

Neustále všude narážim na L-integral, tak zvažuji zda do něj hlouběji proniknout a hledám nějaké "praktické" (fyzikální) důvody. Na distribuce jsem se vždy díval jen technicky, tak úplně nedokážu posoudit, zda tam jen potřeba L-integral nebo stačí Riemannův.

Bati · 05. 03. 2021 11:28

$\log x$

Richard Tuček · 06. 03. 2021 14:28

Co takhle vzít funkci C + Dirichletova funkce

vanok · 10. 03. 2021 21:50

Ahoj ↑ Roscelinius:,
Bibliograficka poznamka :
Tu Theorems and Counterexamples in Mathematics
338 Pages ,
· English
by Bernard R. Gelbaum & John M.H. Olmsted
urcite nieco najdes.

MichalAld · 11. 03. 2021 00:05

Já tomu nějak speciálně nerozumím, ale myslel jsem, že funkce jako třeba ten zmíněný log(x), nebo třeba [mathjax]1/\sqrt{x}[/mathjax] nejsou Riemannovsky integrovatelné (v okolí bodu 0), i když je zřejmé, že plocha pod křivkou funkce je konečná, protože s integrací jejich inverzních variant žádný problém není.

skipii1234 · 13. 05. 2021 12:58

↑ Roscelinius:
Nejjednodušší funkce, co nejde Riemannem ale má nenulový Lebesgueův integrál, je "obrácená" Dirichletova funkce. f(x) = 0 pro x racionální a f(x) = 1 pro x iracionální. Takhle by ti integrál od 0 do 1 dal 1.

Jinak distribuce obecně je nějak zadefinovaná funkce, která požere známou funkci a vyhodí číslo. Když je to hezká distribuce, tak se dá i nějak reprezentovat v integrálním tvaru. Taková hezká je třeba Diracova delta distribuce $\int_{\mathbb{R}} \delta(x)f(x) \mathrm{d}x = f(0)$ .

Asi by na většinu distribucí Lebesgueův integrál potřeba, ale při dokazování jejich vlastností se fakt hodí. Ten totiž má relativně slabé požadavky na prohození pořadí derivace, limity a sumy s integrálem. Riemannův je v tomto ohledu oproti Lebesgueovu integrálu dost nepraktickej. Dál třeba dělat Fourierovy řady a Fourierovu a Laplaceovu transformaci přes Riemanna by byl masochismus.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2021 07:09

Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#2 05. 03. 2021 07:38

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#3 05. 03. 2021 08:31 Příspěvek uživatele vlado_bb byl skryt uživatelem vlado_bb. Důvod: nespravny pristup

#4 05. 03. 2021 09:54

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#5 05. 03. 2021 11:06 Příspěvek uživatele vlado_bb byl skryt uživatelem vlado_bb. Důvod: nespravny pristup

#6 05. 03. 2021 11:28

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#7 06. 03. 2021 14:28

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#8 10. 03. 2021 21:50

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#9 11. 03. 2021 00:05

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

#10 13. 05. 2021 12:58

Re: Nenulový Lebesgueoův integrál Riemannovsky neintegrovatelné funkce

Zápatí