Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 06. 2021 17:13

5dominik9
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: Pdf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

jednoznačné přiřazení

Jak sestrojit vzájemně jednoznačné přiřazení mezi množinou všech čísel intervalu 0 ≤x ≤1 a množinou všech iracionálních čísel téhož intervalu?

Offline

 

#2 05. 06. 2021 17:30

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9:Najst explicitny predpis? Nestaci ukazat, ze take zobrazenie existuje?

Offline

 

#3 05. 06. 2021 17:43

5dominik9
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: Pdf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ vlado_bb: Mám napsat řešení tohoto příkladu, ale nevím, jak to sepsat.

Offline

 

#4 05. 06. 2021 17:44

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9:Je mi vcelku jasne, ze ti ide o riesenie tejto ulohy. Iba sa pytam, ci staci existencny dokaz, alebo treba explicitny predpis. Ak nevies, konzultuj zadavatela ulohy.

Offline

 

#5 05. 06. 2021 17:50

5dominik9
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: Pdf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ vlado_bb:stačil by mi existenční důkaz

Offline

 

#6 05. 06. 2021 18:18

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9:Nakoniec ani to najdenie explicitneho predpisu $f:[0,1] \to [0,1] \setminus Q$ nebude az take narocne. Moznosti je viac, skusim naznacit jednu z nich.

Snazime sa $f$ zostrojit tak, ze $f(x)=x$. To samozrejme nie je mozne pre $x \in Q$. Nech teda $P$ je mnozina vsetkych prvocisel. Je zrejme, ze pre kazde $p \in P$ existuje minimalne $n_p \in N$ tak, ze $\frac {\sqrt{p}}{n_p} \in [0,1]$ a tieto cisla su navzajom pre rozne $p$ rozne.

To by ti snad (ako vysokoskolakovi) malo stacit.

Offline

 

#7 06. 06. 2021 16:40

laszky
Příspěvky: 2130
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   187 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ vlado_bb:

Ahoj. Nebude potom [mathjax]f(f(q))=f(q),[/mathjax] pro [mathjax]q\in Q?[/mathjax] Takze by to nebylo proste zobrazeni.

Offline

 

#8 06. 06. 2021 16:45

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ laszky:Nepovedal som, že to už je celé riešenie… Kolega si to už ale doplní sám, prípadne povie, s čím má problém

Offline

 

#9 20. 06. 2021 07:42

5dominik9
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: Pdf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ vlado_bb: já se moc omlouvám, ale zkouším už dva týdny nad tím uvažovat, jak jste to myslel a stále mi to není jasné. Vím, že toto přiřazení bude existovat, ale nedaří se mi ho sestrojit.

Offline

 

#10 20. 06. 2021 09:34 — Editoval vlado_bb (20. 06. 2021 09:36)

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9: Ukázal som spôsob, ako vytvoriť voľné miesta na uloženie všetkých racionálnych čísel. Treba si kresliť obrázky.

Ale to je iba jedna z možností, existuje veľa iných.

Offline

 

#11 20. 06. 2021 11:32

5dominik9
Zelenáč
Příspěvky: 6
Škola: Pdf UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ vlado_bb: já hlavně netuším, jak zaručit, aby se mi to zobrazovalo pouze na iracionální čísla. :-(

Offline

 

#12 20. 06. 2021 13:06

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 5725
Škola:
Reputace:   129 
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9:Tak, ze v prvom kroku si pripravime tolko volnych miest, kolko je racionalnych cisel. Potom vsetky racionalne posleme do nich. Pripravili sme si ich tak, aby sa tieto racionalne zobrazili do iracionalnych (odmocnina z prvocisla nemoze byt racionalne cislo). Potom je to uz jednoduche.

Offline

 

#13 20. 06. 2021 18:25

osman
Příspěvky: 58
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: jednoznačné přiřazení

↑ 5dominik9:

1. Napřed bych si zkusil nějakým jednoduchým předpisem zobrazit všechna racionální čísla na iracionální,
např. pro [mathjax]q\in (0,1)\bigcap_{}\mathbb Q[/mathjax]
[mathjax]f(q)=q.\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax]

2. Tím mi vznikne potřeba se nějak vypořádat s obrazem iracionálních čísel tvaru [mathjax]q.\frac{\sqrt{2}}{2}[/mathjax].
Tak si nadefinuju
[mathjax]f(q.\frac{\sqrt{2}}{2})=q.\frac{\sqrt{3}}{2}[/mathjax]

3. Začíná se mi rýsovat předpis pro zobrazení "ostatních" iracionálních čísel:
Pro [mathjax]x\in (0,1)\setminus \mathbb{Q}[/mathjax][mathjax]x<>q.\frac {\sqrt{p}}{n_p} [/mathjax], [mathjax]p\in \mathbb{P}[/mathjax], [mathjax]q\in (0,1)\bigcap_{}\mathbb Q[/mathjax] bych předpokládal, že může být
[mathjax]f(x)=x[/mathjax]
(viz ↑ vlado_bb: Je zrejme, ze pre kazde $p \in P$ existuje minimalne $n_p \in N$ tak, ze $\frac {\sqrt{p}}{n_p} \in [0,1]$ a tieto cisla su navzajom pre rozne $p$ rozne.)

4. Bod 2 bych rozpracoval

5. Snažil bych se dokázat, že to celé bude fungovat


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#14 13. 08. 2021 12:45

Eratosthenes
Příspěvky: 1987
Reputace:   121 
 

Re: jednoznačné přiřazení

Označ  $q\in \langle 0;1\rangle \cap \mathbb{Q}$ a zobraz

$f (q\cdot {{\sqrt p}\over {p}}) = q\cdot {{\sqrt p'}\over {p'}}$

kde p je jednička nebo prvočíslo, p' je následující prvočíslo. Zbývající čísla sama na sebe.
Je tam jeden zádrhel (aspoň doufám, že jen jeden). Zkus na něj přijít a vyřešit.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson