Matematické Fórum

↑ popcorn:

Ahoj,

tvoje definice jsou použitelné jenom pro neostré uspořádání

Je lepší definovat: maximální prvek je prvek, pro který neexistuje prvek větší.

To platí jak pro ostré, tak pro neostré. Navíc je pak důkaz jednoduchý.

↑ popcorn:
Tvoje ekvivaletnce platí jen v jednom směru. A když to opravíš, tak vlastně napíšeš jen to, co chcešě dokázat. Nevím, zda to bude vyučujícímu stačit. Možná by to chtělo uvést ještě jednu meziúvahu, proč ta impliakce zleva doprava platí.

Udělal jsem to takto:
Největší prvek: a : [mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]
Maximální prvek: [mathjax](\nexists b\in A: b > a)[/mathjax]
z toho => [mathjax](\forall b \in A: b < a)[/mathjax]

a z toho: [mathjax](\forall b\in  A: b \le a) \Rightarrow (\forall b \in A: b < a)[/mathjax]

Je to ok? Nebo ještě ne?

A nedošel jsi ty zas k největšímu prvku?
poslední řádka: [mathjax] \forall  b \in A : \neg (b> a)[/mathjax]
Když to zneguješ, tak je to úplně samé jako na začátku..
[mathjax](\forall b\in  A: b \le a)[/mathjax]

Ahoj,

řekl bych, že se bavíme o částečně uspořádáné množině [mathjax]A[/mathjax] .
Pokud si to dobře pamatuju, tak částečné uspořádání je relace, která je
a) reflexivní: [mathjax]a\le a[/mathjax]
b) antisymetrická: [mathjax]a\le b\text{ } \wedge \text{ }b\le a\text{ }\Rightarrow \text{ }a=b[/mathjax]
c) tranzitivní: [mathjax]a\le b\text{ } \wedge \text{ }b\le c\text{ }\Rightarrow \text{ }a\le c[/mathjax]


Největší prvek [mathjax]a_{0}[/mathjax] je definovaný takto:
[mathjax]\forall b\in A: (b\le a_{0})[/mathjax]

Protože antisymetrie platí i pro největší prvek, platí současně
[mathjax]\forall b\in A:(a_{0}\le b\text{ }\wedge \text{ }b\le a_{0}\text{ }\Rightarrow \text{ }a_{0}{}=b)[/mathjax]
[mathjax]\forall b\in A: (b\le a_{0})[/mathjax]

a tedy
[mathjax]\forall b\in A:(a_{0}\le b\text{ }\text{ }\Rightarrow \text{ }a_{0}{}=b)[/mathjax]

což je definice maximálního prvku.

Pěkným příkladem částečného uspořádání je relace "býti podmnožinou".
Rozdíl mezi největším a maximálním prvkem je potom dobře vidět třeba na částečně uspořádaných množinách
[mathjax]M_{1}=\{\emptyset,\{1\},\{2\}\}[/mathjax]
a
[mathjax]M_{2}=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}[/mathjax]

Eratosthenes napsal(a):

↑ popcorn:

Jak se neguje obecný kvantifikátor? :-)

No, tam ta negace je jen uvnitř toho kvantifikátoru, takže jsem měl za to, že se neguje pouze ten vnitřek.

Eratosthenes napsal(a):

↑ osman:

To je hezké, ale je to jen půl důkazu.
Pro neostré uspořádání.

Ono ale existuje i ostré. Tj. kromě [mathjax]\le [/mathjax] existuje i <. Tam je to s tou reflexivitou a symetrií trochu jinak...

Potíž je, že přesně nevíme, jaké je to uspořádání.

Myslím, že pro částečné uspořádání důkaz stačí.

Souhlasím, že pro uspořádání s ostrým "<" by to bylo jinak. Ale to by musela vypadat jinak i definice maximálního a největšího prvku, takže by to byla jiná úloha.

Spíš jde uvažovat o úplném uspořádání, to ještě přidáme požadavek
[mathjax]\forall a,b\in A: a\le b\vee b\le a[/mathjax]
Pak by mohla platit i navrhovaná ekvivalence mezi největším a maximálním prvkem.

Závěr: Bylo by fajn, kdyby bylo v zadání napsáno, co přesně  znamená "[mathjax]\le [/mathjax]"