Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 04. 01. 2023 21:03

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

Ahoj,
úlohu formuluji co nejjednodušeji, asi půjde zobecnit:
Nechť  A je uzavřený interval konečné délky, f je nějaká (búno nezáporná) funkce z A do [mathjax]\mathbb{R}[/mathjax], g je libovolná bijekce množiny A.
Uvažujme následující určité integrály (např. Lebesgueovy, ale lze uvažovat i jiné):
[mathjax]I_1 := \int_{A}{f(x) \,\mathrm{d}x}[/mathjax]
[mathjax]I_2 := \int_{A}{f(g(x)) \,\mathrm{d}x}[/mathjax]

V jakém případě (pro libovolné funkce f,g popsané výše) platí následující tvrzení?:
A) Pokud je [mathjax]I_1[/mathjax] nebo [mathjax]I_2[/mathjax] konečný, pak i druhý integrál konečný a je [mathjax]I_1=I_2[/mathjax].
B) Pokud jsou oba integrály [mathjax]I_1[/mathjax], [mathjax]I_2[/mathjax] konečné, pak je [mathjax]I_1=I_2[/mathjax].

Tj. A) je silnější tvrzení než B).


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

  • (téma jako nevyřešené označil(a) check_drummer)

#2 04. 01. 2023 22:24

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

check_drummer napsal(a):

g je libovolná bijekce množiny A.

Co tim presne myslis?

Offline

 

#3 04. 01. 2023 22:47 — Editoval osman (06. 01. 2023 10:40)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ check_drummer:
Ahoj, když vezmu např.

[mathjax]A=<0;1>[/mathjax], [mathjax]f(x)=x^{3},[/mathjax]  [mathjax]g(x)=-x[/mathjax]

oprava:  [mathjax]g(x)=1-x[/mathjax], aby to byla bijekce, díky ↑ check_drummer:

tak mi vychází, že [mathjax] g(x)[/mathjax] by asi měla být rostoucí.

Ale  to nebude stačit, když bude třeba [mathjax]g(x)=x^{2}[/mathjax], taky to nefunguje.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#4 05. 01. 2023 08:06

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ osman:
g(x)=-x brát nemůžeš, to nebude bijekce.
Ale je pravda,že když vezmeš [mathjax]g(x)=x^{2}[/mathjax], tak to nezafunguje.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#5 05. 01. 2023 08:06

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ Bati:
Ahoj, zobrazení z A do A, které je prosté a na.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#6 05. 01. 2023 08:09

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

Tak ještě přece jenom, zda neplatí alespoň toto:
C) Pokud je [mathjax]I_1[/mathjax] nebo [mathjax]I_2[/mathjax] konečný, pak i druhý integrál konečný.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#7 05. 01. 2023 09:50

Bati
Příspěvky: 2389
Reputace:   188 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ check_drummer:
To tezko, napr. [mathjax]\int_0^1x^{-\frac12}[/mathjax] a [mathjax]g(x)=x^2[/mathjax].
V tom druhem integralu mas v podstate jinou miru [mathjax]\frac{dx}{g'(x)}[/mathjax], coz se shoduje s [mathjax]dx[/mathjax] jen kdyz [mathjax]g(x)=x+c[/mathjax].

Offline

 

#8 05. 01. 2023 19:39

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ Bati:
Sice ta funkce není definovína na celém A, ale mám takový pocit, že kdybychom ji v 0 dodefinovali libovolně, že to na věci nic nezmění...

A co:
D) Pokud [mathjax]I_1[/mathjax] nebo [mathjax]I_2[/mathjax] existuje, pak i druhý integrál existuje.
E) Pokud je funkce f omezená, pak pokud [mathjax]I_1[/mathjax] nebo [mathjax]I_2[/mathjax] existuje, pak i druhý integrál existuje.

Ale nevím, zda to není triviální a zda neexistují ty integrály (Lebesgue) vždy. (Pokud je integrál roven nekonečnu, tak to také chápu tak, že existuje.)


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#9 06. 01. 2023 11:06 — Editoval osman (06. 01. 2023 11:07)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Úvahy o rovnosti integrálů na množině s bijekcí

↑ check_drummer:
Pořád mám pocit, že když se bijekce [mathjax]g(x)[/mathjax] vyrobí přiměřeně ošklivá, nemusel by [mathjax]I_{2}[/mathjax] existovat. Třeba pro Newtonův integrál by myslím stačllo definovat

[mathjax]g(\frac{1}{p})=\frac{1}{p+1}[/mathjax] ,   [mathjax]g(\frac{1}{p+1})=\frac{1}{p}[/mathjax] pokud [mathjax]p[/mathjax] je (liché) prvočíslo
[mathjax]g(x)=x[/mathjax] pro ostatní [mathjax]x\in <0;1>[/mathjax]

a klidně může být [mathjax]f(x)=x[/mathjax]

Nevím, jestli jde vymyslet něco podobného pro L-integrál, ten bude asi hodně otužilý.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson