Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 01. 2023 17:42

stehno29
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Zobrazení

Dobrý den, chtěla bych Vás požádat o pomoc při hledání zobrazení. Děkuji.
Najděte vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech celých čísel a množinou všech kvadratických trojčlenů  s celočíselnými koeficienty

Offline

 

#2 24. 01. 2023 19:21

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ stehno29:

Ahoj,

jedna z možností:

všechny trojčleny uspořádej podle jejich koeficientů, třeba takto:

1. Ze dvou trojčlenů je větší ten, který má větší součet absolutních hodnot koeficientů.
2. Nelze-li rozhodnout podle 1. , je větší ten trojčlen, která má větší první koeficient
3. Nelze-li rozhodnout podle 2. , je větší ten trojčlen, která má větší druhý koeficient
4. Nelze-li rozhodnout podle 3. , je větší ten trojčlen, která má větší třetí koeficient

Tím na množině všech trojčlenů zavedeš dobré uspořádání.

Ozvi se, jestli nebudeš vědět, jak dál.


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#3 24. 01. 2023 20:19

stehno29
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

Díky moc, ale popravdě nevím jak dál na to zobrazení. Je to pro mě jeedna velká neznámá. :D

Offline

 

#4 24. 01. 2023 20:46

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Zobrazení

↑ Eratosthenes:
A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.
B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#5 24. 01. 2023 20:49

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Zobrazení

↑ stehno29:
Ahoj a jaký je to předmět? Teorie množina a cvičení na Cantor-Bernsteinovu větu? Nebo diskrétní matematika?
Máte to zobrazení opravdu najít a nebo stačí jen dokázat, že existuje? Stačí udat postup, jak to zobrazení sestrojit a nebo je pořadováno explicitně pro dané n sestrojit konkrétní kvadratický trojčlen? Tj. udat nějaký vzorec pro tvar jeho koeficientů v závislosti na n?


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#6 24. 01. 2023 22:39 — Editoval Eratosthenes (24. 01. 2023 23:13)

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ check_drummer:

>>> A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.

To ano, ale Z^3 to rozhodně není.

>>> B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.

Podle mě ne. Bez té jedničky mě nenapadá to uspořádání...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#7 24. 01. 2023 23:12

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ stehno29:


Kvadratický trojčlen je ax^2+bx+c; a asi zároveň a;b;c<>0, jinak by to nebyl trojčlen, aspoň podle mě. Ale ani s těmi nulami by to na konstrukci nic neměnilo.

Abych nemusel opisovat ta x, budu místo ax^2+bx+c psát jenom a; b; c   

Takže od nejmenšího:

-1; -1; -1  (nejmenší součet abs. hodnot a při tom součtu nejmenší možné koeficienty)
-1; -1;  1  (stejný součet, stejný první a druhý člen, větší třetí - viz bod 4)
-1;  1;  -1  (stejný součet, stejný první, větší druhý  viz bod 3)
1;  -1;  -1 (stejný součet, větší první  -  viz bod 2)
1;  -1;   1
1;   1;   1
-2;  -1;  -1
-2; -1;  1
.........


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#8 24. 01. 2023 23:31 — Editoval osman (24. 01. 2023 23:50)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ stehno29:
Mám slabost pro prvočísla, tak bych se snažil udělat dobré uspořádání s jejich pomocí.

V prvním přiblížení bych uvažoval nezáporné [mathjax]a, b, c[/mathjax].

Pro [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] bych trojčleny porovnával (uspořádal) podle [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax].

Pro záporná [mathjax]a[/mathjax], resp. [mathjax]b[/mathjax], resp. [mathjax]c[/mathjax] bych to nahradil [mathjax]7^{-a}[/mathjax] resp. [mathjax]11^{-b}[/mathjax], resp. [mathjax]13^{-c}[/mathjax] a je to.


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#9 25. 01. 2023 00:36

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ osman:

Wow! Tak to by mě fakt nenapadlo. Vskutku elegantní...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#10 25. 01. 2023 06:54 — Editoval stehno29 (25. 01. 2023 07:32)

stehno29
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ check_drummer:
Ahoj. Jedná se o předmětu Úvod do teorie množin. Úkol jsme dostali zadaný, tak jak jsem ho přidala v prvním příspěvku. Myslím si, že to zobrazení máme přímo najít a sestrojit pro konkrétní trojčlen. Ty úkoly nijak nekorespondují se skripty, co máme. Z toho mám pouze jeden úkol a to dokázat, že množinová rovnost je tranzitivní.

Tento úkol je úplně mimo skripta. Najděte vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech celých čísel a množinou všech kvadratických trojčlenů  s celočíselnými koeficienty.

Děkuji moc všem. Musím se tím nějak prolézt a prokousat, jelikož tomu moc nerozumím a prostě tam to zobrazení mezi množinami nevidím. Vážím si vaší pomoci.

Offline

 

#11 25. 01. 2023 08:29

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ osman:

Dotaz (možná blbý - prvočísla nejsou zrovna můj šálek kávy): je nutné tam plést ty 7, 11, 13? Mně se zdá, že stačí

[mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax] pro a,b, c kladná i záporná


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#12 25. 01. 2023 10:20 — Editoval osman (25. 01. 2023 10:21)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ Eratosthenes:
Ošklivilo se mi pomyšlení opustit celočíselný svět, a tak jsem z estetických důvodů přidal 7, 11, 13.
Při zpětném pohledu je ale zase elegantnější předpis bez nich, tak nevím...


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#13 25. 01. 2023 13:33

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ osman:

Je to otázka.  Jde o to, zda ↑ stehno29: potřebuje jenom nějaký obecný popis, anebo vyloženě "vzorec", tj. něco jako:

[mathjax]\huge \forall m\in \mathbb{Z}: f(m)=ax^2+bx+c  \Leftrightarrow .....[/mathjax]

Pak těžko říct, co bude jednodušší...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#14 25. 01. 2023 18:23

stehno29
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ osman:
Dobře, děkuji. Chápu tedy dobře, že když budu za a,b,c dosazovat čísla, dostanu množinu celých čísel? Nebo jak? Proč jsou tam vůbec ty exponenty (a,b,c) a ta hvězdička je myšleno jak? Moc se omlouvám za tyto otázky, ale potřebuji ten úkol nějak zpracovat a hlavně nějak pochopit. Je mi jasný, že vypracovat sama to nezvládnu, ale mírné pochopení tam je třeba. Děkuji za vaši ochotu.

Offline

 

#15 25. 01. 2023 18:25

stehno29
Zelenáč
Příspěvky: 10
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ Eratosthenes:
Potřebuji asi nějaký vzorec a potom přímo nějaký příklade, kde bych to mohla ukázat, že to funguje. Děkuji.

Offline

 

#16 26. 01. 2023 00:32 — Editoval osman (26. 01. 2023 00:46)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ stehno29:
Ta hvězdička je normální násobení, psal jsem to místo teček, abych na to viděl.

Jinak - můj myšlenkový postup je zhruba tento:
A. Všechny kvadratické trojčleny nějak uspořádám. K tomu potřebuju vymyslet nějaký systém uspořádání - který z nich je nejmenší, a co to vlastně znamená, že je nějaký trojčlen větší než jiný.
B. Z uspořádání by mělo vyplynout, že jich není víc než přirozených čísel (i když je trojčlenů zjevně nekonečně mnoho).
C. Trojčleny očísluju podle velikosti od nejmenšího - tím získám bijekci na přirozená čísla.
D. Udělám bijekci mezi přirizenýni a celými čísly.
--------
K bodu A jsem navrhl bijekci, která trojčlenu [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] přiřadí přirozené číslo [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax] (pro záporné koeficienty je to [mathjax]7^{a},11^{b},13^{c}[/mathjax]

např. trojčlenu [mathjax]3x^{2}+2x+1[/mathjax]  přiřadí číslo [mathjax]360=2^{3}*3^{2}*5^{1}[/mathjax]

a využiju uspořádání přirozených čísel.
--------
K bodu B - zjevně obrazem každého trojčlenu je jiné přirozené číslo, tedy je to vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou kv. trojčlenů a nějakou nekonečnou podmnožinou přirozených čísel, která má nejmenší prvek a je uspořádaná. Takže si trojčleny můžeme seřadit stejně jako jejich obrazy.
--------
k bodu C zkusím pro názornost seřadit a očíslovat několik prvních členů od nejmenšího:

pořadí     obraz                       trojčlen
1.           [mathjax]1=2^{0}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+0x+0[/mathjax]
2.           [mathjax]2=2^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]1x^{2}+0x+0[/mathjax]
3.           [mathjax]3=2^{0}*3^{1}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+x+0[/mathjax]
4.           [mathjax]4=2^{2}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]2x^{2}+0x+0[/mathjax]
5.           [mathjax]5=2^{0}*3^{0}*5^{1}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+0x+1[/mathjax]
6.           [mathjax]6=2^{1}*3^{1}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]1x^{2}+1x+0[/mathjax]
7.           [mathjax]7=7^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax]      [mathjax]-x^{2}+0x+0[/mathjax]
.
.
.
14.          [mathjax]15=2^{0}*3^{1}*5^{1}[/mathjax]      [mathjax]0x^{2}+1x+1[/mathjax]      U 14. členu očíslování začíná být menší než obraz ( číslo 14 není obrazem žádného trojčlenu)
.
.


Bohužel toto není explicitní popis. Víme, že toto očíslování existuje, ale zkonstruovat ho je věc druhá.
--------
Bod D je triviální


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#17 26. 01. 2023 01:46

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 4405
Reputace:   117 
 

Re: Zobrazení

Nevím, jestli už to někdo nezmínil, ale určitě to lze uspořádat tak, jak se uspořádávají zlomky, jen ve 3D.

A zlomky se dají seřadit tak, že je napíšu ve stylu

1/1 2/1 3/1 4/1 5/1
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

A pak je poskládám do řady po diagonálách

Stejně to můžu udělat i pro trojice čísel, a nakonec i pro jakékoliv jiné n-tice.

Pokud potřebuji určit to n, je s tím asi trochu hraní ...

třeba zlomek 7/8 ... leží na diagonále, která má 15 prvků. Sedmý nebo osmý (dle toho, ze které strany to počítáme - tak třeba sedmý). A pod ním jsou diagonály se 14 prvky, 13 prvky .... až to skončí tím zlomkem 1/1.

Takže pořadí zlomku 7/8 je 7 + 14 + 13 + 12 + ... + 2 + 1

Předpokládám, že analogicky to jde dělat i pro větší n-tice čísel než pro dvojice.

Offline

 

#18 26. 01. 2023 03:13 — Editoval vanok (26. 01. 2023 03:14)

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Zobrazení

Pozdravujem
Mala poznamka :
V tomto vlakne ste konstatovali, ze mnozina kvadratickych celociselnych trojclenov je bijektivna z [mathjax]\mathbb{Z}^3
[/mathjax]
.
A potrebujete ukazat ze tato je bijectivna z mnozinou [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]


Mozte sa inspirovat napr. tu.   https://math.stackexchange.com/question … mes-s?rq=1

Co sa da realizovat kompoziciou vhodnych bijekcii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 26. 01. 2023 09:47

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ vanok:

↑ MichalAld:


Ze Z^2 resp. Q bych si asi rady věděl, i když explicitní zápis a la  ↑ Eratosthenes: by i tady byl asi dost komplikovaný. A přenést to do Z^3, tak to fakt nevím, jak by to dopadlo.

Zatím mě napadlo (inspirován ↑ osman:) toto:

M = množina všech přirozených čísel dělitelných 2,3,5,7,11,13.

Pak  [mathjax]f(ax^2+bx+c) = n_1\cdot n_2 \cdot n_3[/mathjax]

kde 

[mathjax]\huge n_1 =2^a (a>0) \vee 7^{-a}(a<0)[/mathjax]

n_2, n_3 analogicky.

Je to bijekce trojčlenů s [mathjax]M\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}[/mathjax], takže jako důkaz ekvivalence se Z by to stačilo. Explicitní popis bijekce přímo se Z bude asi oříšek...


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#20 26. 01. 2023 13:32

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ vanok:

Tady

Odkaz

je spousta chyb


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

#21 26. 01. 2023 14:04

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ Eratosthenes:

Nechtěl jsem  tím původně děsit čtenáře. Myslím, že přesný zápis funkce g: [mathjax]\mathbb{Z}_{3}[/mathjax]--->M by byl

[mathjax2]g(ax^2+bx+c) = 2^{f(a)}*3^{f(b)}*5^{f(c)}*7^{f(-a)}*11^{f(-b)}*13^{f(-c)}[/mathjax2]
kde f: [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]---->[mathjax]\mathbb{N}_{0}[/mathjax] je definovaná [mathjax]f(x)=x\text{  } pro\text{ } x\ge 0 [/mathjax], [mathjax]f(x)=0\text{  } pro\text{ } x\lt 0[/mathjax]


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#22 26. 01. 2023 14:25 — Editoval osman (26. 01. 2023 14:28)

osman
Příspěvky: 118
Pozice: v.v.
Reputace:   
 

Re: Zobrazení

↑ Eratosthenes: A obecný předpis pro polynom n-tého stupně by mohl vypadat nějak takhle:-)
[mathjax2]g(\sum_{i=0}^{n}a_{i}*x^{i})=\prod_{i=0}^{n}(p_{i+1}^{f(a_{i})}*p_{n+i+2}^{f(-a_{i})})[/mathjax2]
kde [mathjax]p_{j}[/mathjax] je j-té prvočíslo


Hlavní je zápal, talent se dostaví!

Offline

 

#23 26. 01. 2023 14:56

check_drummer
Příspěvky: 3862
Reputace:   91 
 

Re: Zobrazení

Eratosthenes napsal(a):

↑ check_drummer:

>>> B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.

Podle mě ne. Bez té jedničky mě nenapadá to uspořádání...

Aha, nevšiml jsem si, že jde o celá čísla a ne jen o přirozená...


Ve 21. století i vzdělaní lidé učili své děti, že látka je tvořená z atomů.

Offline

 

#24 26. 01. 2023 15:34

vanok
Příspěvky: 14322
Reputace:   740 
 

Re: Zobrazení

Reakcia na #20
Na inspiraciu to staci.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 26. 01. 2023 16:09

Eratosthenes
Příspěvky: 2424
Reputace:   131 
 

Re: Zobrazení

↑ osman:

To asi ne. Pro která a,b, c dostaneš třeba g(a,b,c)=17?


Budoucnost patří aluminiu.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson