Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
↑ stehno29:
Ahoj,
jedna z možností:
všechny trojčleny uspořádej podle jejich koeficientů, třeba takto:
1. Ze dvou trojčlenů je větší ten, který má větší součet absolutních hodnot koeficientů.
2. Nelze-li rozhodnout podle 1. , je větší ten trojčlen, která má větší první koeficient
3. Nelze-li rozhodnout podle 2. , je větší ten trojčlen, která má větší druhý koeficient
4. Nelze-li rozhodnout podle 3. , je větší ten trojčlen, která má větší třetí koeficient
Tím na množině všech trojčlenů zavedeš dobré uspořádání.
Ozvi se, jestli nebudeš vědět, jak dál.
Offline
↑ Eratosthenes:
A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.
B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.
Offline
↑ stehno29:
Ahoj a jaký je to předmět? Teorie množina a cvičení na Cantor-Bernsteinovu větu? Nebo diskrétní matematika?
Máte to zobrazení opravdu najít a nebo stačí jen dokázat, že existuje? Stačí udat postup, jak to zobrazení sestrojit a nebo je pořadováno explicitně pro dané n sestrojit konkrétní kvadratický trojčlen? Tj. udat nějaký vzorec pro tvar jeho koeficientů v závislosti na n?
Offline
↑ check_drummer:
>>> A) Existují dobře uspořádané množiny, které mají větší mohutnost než N.
To ano, ale Z^3 to rozhodně není.
>>> B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.
Podle mě ne. Bez té jedničky mě nenapadá to uspořádání...
Offline
↑ stehno29:
Kvadratický trojčlen je ax^2+bx+c; a asi zároveň a;b;c<>0, jinak by to nebyl trojčlen, aspoň podle mě. Ale ani s těmi nulami by to na konstrukci nic neměnilo.
Abych nemusel opisovat ta x, budu místo ax^2+bx+c psát jenom a; b; c
Takže od nejmenšího:
-1; -1; -1 (nejmenší součet abs. hodnot a při tom součtu nejmenší možné koeficienty)
-1; -1; 1 (stejný součet, stejný první a druhý člen, větší třetí - viz bod 4)
-1; 1; -1 (stejný součet, stejný první, větší druhý viz bod 3)
1; -1; -1 (stejný součet, větší první - viz bod 2)
1; -1; 1
1; 1; 1
-2; -1; -1
-2; -1; 1
.........
Offline
↑ stehno29:
Mám slabost pro prvočísla, tak bych se snažil udělat dobré uspořádání s jejich pomocí.
V prvním přiblížení bych uvažoval nezáporné [mathjax]a, b, c[/mathjax].
Pro [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] bych trojčleny porovnával (uspořádal) podle [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax].
Pro záporná [mathjax]a[/mathjax], resp. [mathjax]b[/mathjax], resp. [mathjax]c[/mathjax] bych to nahradil [mathjax]7^{-a}[/mathjax] resp. [mathjax]11^{-b}[/mathjax], resp. [mathjax]13^{-c}[/mathjax] a je to.
Offline
↑ osman:
Wow! Tak to by mě fakt nenapadlo. Vskutku elegantní...
Offline
↑ check_drummer:
Ahoj. Jedná se o předmětu Úvod do teorie množin. Úkol jsme dostali zadaný, tak jak jsem ho přidala v prvním příspěvku. Myslím si, že to zobrazení máme přímo najít a sestrojit pro konkrétní trojčlen. Ty úkoly nijak nekorespondují se skripty, co máme. Z toho mám pouze jeden úkol a to dokázat, že množinová rovnost je tranzitivní.
Tento úkol je úplně mimo skripta. Najděte vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou všech celých čísel a množinou všech kvadratických trojčlenů s celočíselnými koeficienty.
Děkuji moc všem. Musím se tím nějak prolézt a prokousat, jelikož tomu moc nerozumím a prostě tam to zobrazení mezi množinami nevidím. Vážím si vaší pomoci.
Offline
↑ osman:
Dotaz (možná blbý - prvočísla nejsou zrovna můj šálek kávy): je nutné tam plést ty 7, 11, 13? Mně se zdá, že stačí
[mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax] pro a,b, c kladná i záporná
Offline
↑ Eratosthenes:
Ošklivilo se mi pomyšlení opustit celočíselný svět, a tak jsem z estetických důvodů přidal 7, 11, 13.
Při zpětném pohledu je ale zase elegantnější předpis bez nich, tak nevím...
Offline
↑ osman:
Je to otázka. Jde o to, zda ↑ stehno29: potřebuje jenom nějaký obecný popis, anebo vyloženě "vzorec", tj. něco jako:
[mathjax]\huge \forall m\in \mathbb{Z}: f(m)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow .....[/mathjax]
Pak těžko říct, co bude jednodušší...
Offline
↑ osman:
Dobře, děkuji. Chápu tedy dobře, že když budu za a,b,c dosazovat čísla, dostanu množinu celých čísel? Nebo jak? Proč jsou tam vůbec ty exponenty (a,b,c) a ta hvězdička je myšleno jak? Moc se omlouvám za tyto otázky, ale potřebuji ten úkol nějak zpracovat a hlavně nějak pochopit. Je mi jasný, že vypracovat sama to nezvládnu, ale mírné pochopení tam je třeba. Děkuji za vaši ochotu.
Offline
↑ Eratosthenes:
Potřebuji asi nějaký vzorec a potom přímo nějaký příklade, kde bych to mohla ukázat, že to funguje. Děkuji.
Offline
↑ stehno29:
Ta hvězdička je normální násobení, psal jsem to místo teček, abych na to viděl.
Jinak - můj myšlenkový postup je zhruba tento:
A. Všechny kvadratické trojčleny nějak uspořádám. K tomu potřebuju vymyslet nějaký systém uspořádání - který z nich je nejmenší, a co to vlastně znamená, že je nějaký trojčlen větší než jiný.
B. Z uspořádání by mělo vyplynout, že jich není víc než přirozených čísel (i když je trojčlenů zjevně nekonečně mnoho).
C. Trojčleny očísluju podle velikosti od nejmenšího - tím získám bijekci na přirozená čísla.
D. Udělám bijekci mezi přirizenýni a celými čísly.
--------
K bodu A jsem navrhl bijekci, která trojčlenu [mathjax]ax^{2}+bx+c[/mathjax] přiřadí přirozené číslo [mathjax]2^{a}*3^{b}*5^{c}[/mathjax] (pro záporné koeficienty je to [mathjax]7^{a},11^{b},13^{c}[/mathjax] )
např. trojčlenu [mathjax]3x^{2}+2x+1[/mathjax] přiřadí číslo [mathjax]360=2^{3}*3^{2}*5^{1}[/mathjax]
a využiju uspořádání přirozených čísel.
--------
K bodu B - zjevně obrazem každého trojčlenu je jiné přirozené číslo, tedy je to vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinou kv. trojčlenů a nějakou nekonečnou podmnožinou přirozených čísel, která má nejmenší prvek a je uspořádaná. Takže si trojčleny můžeme seřadit stejně jako jejich obrazy.
--------
k bodu C zkusím pro názornost seřadit a očíslovat několik prvních členů od nejmenšího:
pořadí obraz trojčlen
1. [mathjax]1=2^{0}*3^{0}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]0x^{2}+0x+0[/mathjax]
2. [mathjax]2=2^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]1x^{2}+0x+0[/mathjax]
3. [mathjax]3=2^{0}*3^{1}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]0x^{2}+x+0[/mathjax]
4. [mathjax]4=2^{2}*3^{0}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]2x^{2}+0x+0[/mathjax]
5. [mathjax]5=2^{0}*3^{0}*5^{1}[/mathjax] [mathjax]0x^{2}+0x+1[/mathjax]
6. [mathjax]6=2^{1}*3^{1}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]1x^{2}+1x+0[/mathjax]
7. [mathjax]7=7^{1}*3^{0}*5^{0}[/mathjax] [mathjax]-x^{2}+0x+0[/mathjax]
.
.
.
14. [mathjax]15=2^{0}*3^{1}*5^{1}[/mathjax] [mathjax]0x^{2}+1x+1[/mathjax] U 14. členu očíslování začíná být menší než obraz ( číslo 14 není obrazem žádného trojčlenu)
.
.
Bohužel toto není explicitní popis. Víme, že toto očíslování existuje, ale zkonstruovat ho je věc druhá.
--------
Bod D je triviální
Offline
Nevím, jestli už to někdo nezmínil, ale určitě to lze uspořádat tak, jak se uspořádávají zlomky, jen ve 3D.
A zlomky se dají seřadit tak, že je napíšu ve stylu
1/1 2/1 3/1 4/1 5/1
1/2 2/2 3/2 4/2 5/2
1/3 2/3 3/3 4/3 5/3
1/4 2/4 3/4 4/4 5/4
1/5 2/5 3/5 4/5 5/5
A pak je poskládám do řady po diagonálách
Stejně to můžu udělat i pro trojice čísel, a nakonec i pro jakékoliv jiné n-tice.
Pokud potřebuji určit to n, je s tím asi trochu hraní ...
třeba zlomek 7/8 ... leží na diagonále, která má 15 prvků. Sedmý nebo osmý (dle toho, ze které strany to počítáme - tak třeba sedmý). A pod ním jsou diagonály se 14 prvky, 13 prvky .... až to skončí tím zlomkem 1/1.
Takže pořadí zlomku 7/8 je 7 + 14 + 13 + 12 + ... + 2 + 1
Předpokládám, že analogicky to jde dělat i pro větší n-tice čísel než pro dvojice.
Offline
Pozdravujem
Mala poznamka :
V tomto vlakne ste konstatovali, ze mnozina kvadratickych celociselnych trojclenov je bijektivna z [mathjax]\mathbb{Z}^3
[/mathjax].
A potrebujete ukazat ze tato je bijectivna z mnozinou [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]
Mozte sa inspirovat napr. tu. https://math.stackexchange.com/question … mes-s?rq=1
Co sa da realizovat kompoziciou vhodnych bijekcii.
Offline
↑ vanok:
↑ MichalAld:
Ze Z^2 resp. Q bych si asi rady věděl, i když explicitní zápis a la ↑ Eratosthenes: by i tady byl asi dost komplikovaný. A přenést to do Z^3, tak to fakt nevím, jak by to dopadlo.
Zatím mě napadlo (inspirován ↑ osman:) toto:
M = množina všech přirozených čísel dělitelných 2,3,5,7,11,13.
Pak [mathjax]f(ax^2+bx+c) = n_1\cdot n_2 \cdot n_3[/mathjax]
kde
[mathjax]\huge n_1 =2^a (a>0) \vee 7^{-a}(a<0)[/mathjax]
n_2, n_3 analogicky.
Je to bijekce trojčlenů s [mathjax]M\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}[/mathjax], takže jako důkaz ekvivalence se Z by to stačilo. Explicitní popis bijekce přímo se Z bude asi oříšek...
Offline
↑ Eratosthenes:
Nechtěl jsem tím původně děsit čtenáře. Myslím, že přesný zápis funkce g: [mathjax]\mathbb{Z}_{3}[/mathjax]--->M by byl
[mathjax2]g(ax^2+bx+c) = 2^{f(a)}*3^{f(b)}*5^{f(c)}*7^{f(-a)}*11^{f(-b)}*13^{f(-c)}[/mathjax2]
kde f: [mathjax]\mathbb{Z}[/mathjax]---->[mathjax]\mathbb{N}_{0}[/mathjax] je definovaná [mathjax]f(x)=x\text{ } pro\text{ } x\ge 0 [/mathjax], [mathjax]f(x)=0\text{ } pro\text{ } x\lt 0[/mathjax]
Offline
↑ Eratosthenes: A obecný předpis pro polynom n-tého stupně by mohl vypadat nějak takhle:-)
[mathjax2]g(\sum_{i=0}^{n}a_{i}*x^{i})=\prod_{i=0}^{n}(p_{i+1}^{f(a_{i})}*p_{n+i+2}^{f(-a_{i})})[/mathjax2]
kde [mathjax]p_{j}[/mathjax] je j-té prvočíslo
Offline
Eratosthenes napsal(a):
↑ check_drummer:
>>> B) Podle mě stačí uvažovat jen body 2.-4., tj. bod 1. škrtnout.
Podle mě ne. Bez té jedničky mě nenapadá to uspořádání...
Aha, nevšiml jsem si, že jde o celá čísla a ne jen o přirozená...
Offline
Reakcia na #20
Na inspiraciu to staci.
Offline
↑ osman:
To asi ne. Pro která a,b, c dostaneš třeba g(a,b,c)=17?
Offline