Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 28. 02. 2023 13:40
kombinatorika
Ahoj, prosím o pomoc s tímto příkladem:
Kolik možností jak sčítáním 6 a 8 mohu dostat n? (záleží na pořadí, beze zbytku).
Např. pro n=30: |{6,8,8,8}, {8,6,8,8}, {8,8,6,8}, {8,8,8,6},{6,6,6,6,6}| = 5 možností
Jak toto číslo určím pro n?
Děkuji za pomoc.
Offline
#2 01. 03. 2023 17:21
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: kombinatorika
↑ Simes:
Ahoj, zkus si to napsat pro nějaká malá n, třeba mezi 20 a 30. A zkus najít nějaký systematický popis počtu možností.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#3 01. 03. 2023 19:19 — Editoval krakonoš (01. 03. 2023 19:22)
Re: kombinatorika
↑ Simes:
Ahoj.
Možná bych si vyjádřila n=6a+8b,
pak bych například pro n=30 dostala (a=5;b=0) (a=1;b=3).
Pro každou tuto uspořádanou dvojici by to pak bylo (a+b nad a) možností .
tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.
Offline
#4 01. 03. 2023 19:43
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: kombinatorika
Taky je lepší to řešit pro číslo m a získat ho jako součet čísel 3,4 a následně tedy toto řešení použít pro n=2m.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 01. 03. 2023 19:46 — Editoval check_drummer (01. 03. 2023 19:52)
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: kombinatorika
Pro ten případ 3,4 a hledaný počet s(m) platí rekurentní vzorec (pro m>5) s(m)=s(m-3)+s(m-4) (s(3)=s(4)=1, s(2)=s(5)=0). Možná pro něj půjde odvodit explicitní vztah, podobně jako pro Fibonacciho posloupnost. Bude to asi hezké cvičení pro toho kdo má čas. Já moc ne, ale možná se k tomu dokopu. :-) Možná za týden, pokud se tomu nikdo nebude věnovat.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 01. 03. 2023 19:59 — Editoval check_drummer (01. 03. 2023 20:01)
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: kombinatorika
Asi by k řešení šlo použít toto:
https://mathworld.wolfram.com/LinearRec … ation.html
Takže řešit to nebudu. :-) Ne protože by mi to přilo pracné, ale protože je tu celkem dobrý návod.
Jen je potřeba posunout indexy, protože =1 jsou ty členy až pro m=3,4.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#7 01. 03. 2023 20:01
#8 01. 03. 2023 20:04 — Editoval surovec (01. 03. 2023 20:10)
Re: kombinatorika
↑ Simes:
Hezký příkládek. Dospěl jsem k tomuto divokému vzorci, který třeba někdo zjednoduší:
[mathjax2]\left(1- n\,\mathrm{MOD}\,2 \right) \cdot \sum_{i=\lceil \frac{n}{8}\rceil}^{\lfloor \frac{n}{6}\rfloor}{i \choose k_i}[/mathjax2]
kde [mathjax]k_i[/mathjax] končí hodnotou [mathjax]\frac{n}{2}\,\mathrm{MOD}\,3[/mathjax] a každý předchozí sčítanec má [mathjax]k_i[/mathjax] o trojku větší – to teď narychlo nevím, jak do té sumy nacpat. Např. pro číslo 58 (sčítance jsou od konce):
[mathjax2]{9 \choose 2}+{8 \choose 5} = 92[/mathjax2]
A pro tu třicítku je to [mathjax]{4 \choose 3}+{5 \choose 0}=5[/mathjax].
Poznámka: MOD je zbytek po celočíselném dělení, ty závorky znamenají horní, resp. dolní celou část čísla.
Offline
#9 01. 03. 2023 23:11
- check_drummer
- Příspěvky: 4623
- Reputace: 99
Re: kombinatorika
Hezký explicitní vzorec je asi bez šance. Charakteristická rovnice nemá moc hezké kořeny.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline