Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 28. 02. 2023 13:40

Simes
Zelenáč
Příspěvky: 5
Reputace:   
 

kombinatorika

Ahoj, prosím o pomoc s tímto příkladem:

Kolik možností jak sčítáním 6 a 8 mohu dostat n? (záleží na pořadí, beze zbytku).
Např. pro n=30: |{6,8,8,8}, {8,6,8,8}, {8,8,6,8}, {8,8,8,6},{6,6,6,6,6}| = 5 možností

Jak toto číslo určím pro n?

Děkuji za pomoc.

Offline

 

#2 01. 03. 2023 17:21

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

↑ Simes:
Ahoj, zkus si to napsat pro nějaká malá n, třeba mezi 20 a 30. A zkus najít nějaký systematický popis počtu možností.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 01. 03. 2023 19:19 — Editoval krakonoš (01. 03. 2023 19:22)

krakonoš
Příspěvky: 1163
Reputace:   34 
 

Re: kombinatorika

↑ Simes:
Ahoj.
Možná bych si vyjádřila n=6a+8b,
pak bych například pro n=30 dostala (a=5;b=0) (a=1;b=3).
Pro každou tuto uspořádanou dvojici by to pak bylo (a+b nad a) možností .


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#4 01. 03. 2023 19:43

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

Taky je lepší to řešit pro číslo m a získat ho jako součet čísel 3,4 a následně tedy toto řešení použít pro n=2m.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#5 01. 03. 2023 19:46 — Editoval check_drummer (01. 03. 2023 19:52)

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

Pro ten případ 3,4 a hledaný počet s(m) platí rekurentní vzorec (pro m>5) s(m)=s(m-3)+s(m-4) (s(3)=s(4)=1, s(2)=s(5)=0). Možná pro něj půjde odvodit explicitní vztah, podobně jako pro Fibonacciho posloupnost. Bude to asi hezké cvičení pro toho kdo má čas. Já moc ne, ale možná se k tomu dokopu. :-) Možná za týden, pokud se tomu nikdo nebude věnovat.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#6 01. 03. 2023 19:59 — Editoval check_drummer (01. 03. 2023 20:01)

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

Asi by k řešení šlo použít toto:
https://mathworld.wolfram.com/LinearRec … ation.html
Takže řešit to nebudu. :-) Ne protože by mi to přilo pracné, ale protože je tu celkem dobrý návod.
Jen je potřeba posunout indexy, protože =1 jsou ty členy až pro m=3,4.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#7 01. 03. 2023 20:01

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

↑ Simes:
Odkud ta úloha pochází?


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#8 01. 03. 2023 20:04 — Editoval surovec (01. 03. 2023 20:10)

surovec
Příspěvky: 992
Reputace:   24 
 

Re: kombinatorika

↑ Simes:
Hezký příkládek. Dospěl jsem k tomuto divokému vzorci, který třeba někdo zjednoduší:
[mathjax2]\left(1- n\,\mathrm{MOD}\,2 \right) \cdot \sum_{i=\lceil \frac{n}{8}\rceil}^{\lfloor \frac{n}{6}\rfloor}{i \choose k_i}[/mathjax2]
kde [mathjax]k_i[/mathjax] končí hodnotou [mathjax]\frac{n}{2}\,\mathrm{MOD}\,3[/mathjax] a každý předchozí sčítanec má [mathjax]k_i[/mathjax] o trojku větší – to teď narychlo nevím, jak do té sumy nacpat. Např. pro číslo 58 (sčítance jsou od konce):
[mathjax2]{9 \choose 2}+{8 \choose 5} = 92[/mathjax2]
A pro tu třicítku je to [mathjax]{4 \choose 3}+{5 \choose 0}=5[/mathjax].
Poznámka: MOD je zbytek po celočíselném dělení, ty závorky znamenají horní, resp. dolní celou část čísla.

Offline

 

#9 01. 03. 2023 23:11

check_drummer
Příspěvky: 4690
Reputace:   102 
 

Re: kombinatorika

Hezký explicitní vzorec je asi bez šance. Charakteristická rovnice nemá moc hezké kořeny.


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#10 02. 03. 2023 07:58

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 6232
Škola:
Reputace:   145 
 

Re: kombinatorika

Mozno by sa dalo uvazovat aj o indukcii s indukcnym krokom 24. Co zasa nie je az teke priserne, pretoze nie pre kazde n takyto sucet existuje.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson